质量通量

质量通量（mass flux）是指单位时间内通过单位面积的质量，常用j、J、φ或Φ 表示，有时会加下标m表示是针对质量的通量。其国际标准制单位为kg s^-1 m^-2。

定义

质量通量可以用以下的极限来定义：

$j_{m}=\lim \limits _{A\rightarrow 0}{\frac {I_{m}}{A}}$

其中

$I_{m}=\lim \limits _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta m}{\Delta t}}={\frac {dm}{dt}}$

是单位时间的质量，而A是质量所通过的截面积。

若要计算向量形式的质量通量j_m，需要计算从时间t₁到t₂之间通过表面S的曲面积分，可以得到在时间(t₂ − t₁)内通过表面的总质量：

$m=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\iint _{S}\mathbf {j} _{m}\cdot \mathbf {\hat {n}} {\rm {d}}A{\rm {d}}t$

要计算的面积可能是平坦或是弯曲的，也可能是一个曲面或是一截面积。例如考虑流过管路内的流体，则其面积就是指定区域的截面积。

向量面积是由面积大小A和面积的单位法向量$\mathbf {\hat {n}}$组合而成的物理量，其关系是$\mathbf {A} =A\mathbf {\hat {n}}$。

若质量通量j_m和截面积的法向量$\mathbf {\hat {n}}$有θ度的夹角，则

$\mathbf {j} _{m}\cdot \mathbf {\hat {n}} =j_{m}\cos \theta$

其中·为向量的内积，因此通过截面积的质量通量为j_m cos θ，而沿著截面积切线的质量通量为j_m sin θ，但这部份的分量没有通过截面积。

流体方程

替代方程

配合向量的定义，质量通量也可以表示为下式：

$\mathbf {j} _{\rm {m}}=\rho \mathbf {u}$

其中：

• ρ 为密度，
• u 为流体的流速

有时可以用此方程来定义向量形式的质量通量。

混合流体的质量通量及莫耳通量

若流体是多种物质的混合物，需依混合物中的各个成份个别计算质量通量。

若流体中只有一种物质，适合用质量通量来表示，但若流体中包括许多不同的粒子，此时比较适合用另一个类似的物理量来描述，称为莫耳通量。

质量通量

若使用质量通量，成份i的质量通量为：

$\mathbf {j} _{{\rm {m}},\,i}=\rho _{i}\mathbf {u} _{i}$

成份i的质心质量通量（barycentric mass flux）为：

$\mathbf {j} _{{\rm {m}},\,i}=\rho \left(\mathbf {u} _{i}-\langle \mathbf {u} \rangle \right)$

其中$\langle \mathbf {u} \rangle$为混合物中所有成份的平均质量流速（mass velocity），可以用下式计算：

$\langle \mathbf {u} \rangle ={\frac {1}{\rho }}\sum _{i}\rho _{i}\mathbf {u} _{i}={\frac {1}{\rho }}\sum _{i}\mathbf {j} _{{\rm {m}},\,i}$

其中：

• ρ为混合物的平均密度
• ρ_i为成份i的密度
• u _i为成份i的速度

平均速度是依所有成份依密度加权来计算平均。

莫耳通量

若将上式的密度ρ改为莫耳数n，则可计算莫耳通量。

莫耳通量是单位时间通过单位体积的莫耳数：

$\mathbf {j} _{\rm {n}}=n\mathbf {u}$

因此成份i的莫耳通量（单位时间通过单位体积的莫耳数）为：

$\mathbf {j} _{{\rm {n}},\,i}=n_{i}\mathbf {u} _{i}$

成份i的质心莫耳通量（barycentric molar flux）为：

$\mathbf {j} _{{\rm {n}},\,i}=n\left(\mathbf {u} _{i}-\langle \mathbf {u} \rangle \right)$

此时$\langle \mathbf {u} \rangle$则是混合物中所有成份的莫耳速度（molar velocity）：

$\langle \mathbf {u} \rangle ={\frac {1}{n}}\sum _{i}n_{i}\mathbf {u} _{i}={\frac {1}{n}}\sum _{i}\mathbf {j} _{{\rm {m}},\,i}$

用法

在流体动力学的连续方程式中会用到质量通量：

$\nabla \cdot \mathbf {j} _{\rm {m}}+{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0$

上述方程式表示流体的质量守恒，流体只能从一处流到另一处。

莫耳通量则出现在有关扩散作用的菲克第一定律中：

$\nabla \cdot \mathbf {j} _{\rm {n}}=-\nabla \cdot D\nabla c$

其中D为扩散系数，c为物质的浓度。

相关条目

• 通量
• 菲克定律
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