馀弦定理

馀弦定理是三角形中三边长度与一个角的余弦值（$\cos$）的数学式，余弦定理指的是：

一个三角形

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma$

同样，也可以将其改为：

$b^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca\cos \beta$

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha$

其中$c$是$\gamma$角的对边，而$a$和$b$是$\gamma$角的邻边。

勾股定理则是余弦定理的特殊情况，当$\gamma$为$90^{\circ }$时，$\cos \gamma =0$，等式可被简化为

$c^{2}=a^{2}+b^{2}$

当知道三角形的两边和一角时，余弦定理可被用来计算第三边的长，或是当知道三边的长度时，可用来求出任何一个角。

历史

一个钝三角形和它的高。

余弦定理的历史可追溯至公元三世纪前欧几里得的几何原本，在书中将三角形分为钝角和锐角来解释，这同时对应现代数学中余弦值的正负。根据几何原本第二卷的命题12和13，并参考右图，以现代的数学式表示即为：

${\overline {AB}}^{2}={\overline {CA}}^{2}+{\overline {CB}}^{2}+2({\overline {CA}})({\overline {CH}})\,$

其中${\overline {CH}}={\overline {BC}}\cos(\pi -\gamma )=-{\overline {BC}}\cos \gamma$，将其带入上式得到：

${\overline {AB}}^{2}={\overline {CA}}^{2}+{\overline {CB}}^{2}-2({\overline {CA}})({\overline {BC}})\cos \gamma$

证明

三角函数

具有垂直线的锐角三角形

见右图，在$c$上做高可以得到（投影定理）：

$c=a\cos \beta +b\cos \alpha$

将等式同乘以c得到：

$c^{2}=ac\cos \beta +bc\cos \alpha$

运用同样的方式可以得到：

$a^{2}=ac\cos \beta +ab\cos \gamma$

$b^{2}=bc\cos \alpha +ab\cos \gamma$

将$c^{2}$的右式取代：

$c^{2}=ac\cos \beta +bc\cos \alpha =(a^{2}-ab\cos \gamma )+(b^{2}-ab\cos \gamma )=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma$

勾股定理

勾股定理之一

设$\triangle ABC$中，${\overline {AB}}=c$，${\overline {BC}}=a$，${\overline {AC}}=b$。过$B$点作$AC$的垂线，垂足为$D$，如果$D$在$AC$内部，则$BD$的长度为$a\sin C$，$DC$的长度为$a\cos C$，$AD$的长度为$b-a\cos C$。根据勾股定理：

$c^{2}=(a\sin C)^{2}+(b-a\cos C)^{2}\,$

$c^{2}=a^{2}\sin ^{2}C+b^{2}-2ab\cos C+a^{2}\cos ^{2}C\,$

$c^{2}=a^{2}(\sin ^{2}C+\cos ^{2}C)+b^{2}-2ab\cos C\,$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C\,$

如果$D$在$AC$的延长线上，证明是类似的。同理可以得到其他的等式。

勾股定理之二

证明所用的三角形

设$\triangle ABC$中，${\overline {AB}}=c$，${\overline {BC}}=a$，${\overline {AC}}=b$。过$B$点作${\overline {AC}}$的垂线，垂足为$D$，设${\overline {AD}}=x$，则${\overline {CD}}=b-x$，根据勾股定理：

$c^{2}-x^{2}={\overline {BD}}^{2}=a^{2}-(b-x)^{2}$

$c^{2}-x^{2}=a^{2}-b^{2}-x^{2}+2bx$

$c^{2}=a^{2}-b^{2}+2bx$

$x={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2b}}$

$\cos A={\frac {x}{c}}={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}$

如果$D$在${\overline {AC}}$的延长线上，证明是类似的。同理可以得到其他的等式。

应用

馀弦定理是解三角形中的一个重要定理。

求边

馀弦定理可以简单地变形成：

$a={\sqrt {b^{2}+c^{2}-2bc\cos A}}$

$b={\sqrt {c^{2}+a^{2}-2ac\cos B}}$

$c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos C}}$

因此，如果知道了三角形的两边及其夹角，可由馀弦定理得出已知角的对边。

求角

余弦定理可以简单地变形成：

$\cos A={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\,\!$

$\cos B={\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}}\,\!$

$\cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\,\!$

因为馀弦函数在$({{\rm {0}},\pi })$上的单调性，可以得到：

$\angle A=\arccos {\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\,\!$

$\angle B=\arccos {\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}}\,\!$

$\angle C=\arccos {\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\,\!$

因此，如果已知三角形的三边，可以由馀弦定理得到三角形的三个内角。

参见

• 三角形
• 勾股定理
• 正弦定理
• 正切定理
• 角平分线长公式
• 中线长公式