麦克斯韦应力张量
在电磁学里,马克士威应力张量(Maxwell stress tensor)是描述电磁场带有之应力的二阶张量。马克士威应力张量可以表现出电场力、磁场力和机械动量之间的相互作用。对于简单的状况,例如一个点电荷自由地移动于均匀磁场,应用劳仑兹力定律,就可以很容易地计算出点电荷所感受的作用力。但是,当遇到稍微复杂一点的状况时,这很普通的程序会变得非常困难,方程式洋洋洒洒地一行又一行的延续。因此,物理学家通常会聚集很多项目于马克士威应力张量内,然后使用张量数学来解析问题。
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导引
编辑为了方便参考,先列出马克士威方程组:
名称 | 微分形式 |
---|---|
高斯定律 | |
高斯磁定律 | |
法拉第感应定律 | |
马克士威-安培定律 |
其中, 是电场, 是磁场, 是电荷密度, 是电流密度, 是电常数, 是磁常数。
从劳仑兹力定律开始,一个电荷分布所感受到的单位体积的作用力 是
- 。
应用高斯定律和马克士威-安培定律,把电荷密度和电流密度替换掉,只让电场和磁场出现于方程式:
- 。
应用乘积法则和法拉第感应定律:
- ,
稍加编排,将 写为
- 。
为了使 的项目 的项目能够相互对称,加入一个 项目:
- 。
应用向量恒等式,对于任意向量
- ,
将 的方程式内的旋度项目除去:
- 。
这方程式最右边项目涉及了坡印廷向量 :
- 。
设定马克士威应力张量 (以英文字母上面加两只箭矢符号来标记二阶张量):
- ;
其中, 是克罗内克函数。
定义一个向量 与马克士威应力张量 的内积为
- 。
那么,一个电荷分布所感受到的单位体积的作用力 是
- 。
马克士威应力张量的性质
编辑马克士威应力张量是一个对称张量,表达为
- 。
马克士威应力张量的单位是牛顿/公尺2。马克士威应力张量的 ij 元素诠释为,朝著 i-轴方向,施加于 j-轴的垂直平面,单位面积的作用力;对角元素代表负压力,非对角元素代表剪应力。对角元素给出张力(拖拉力)作用于其对应轴的垂直面微分元素。不同于理想气体因为压力而施加的作用力,在电磁场内的一个面元素也会感受到方向不垂直于其面的剪应力。这是由非对角元素给出的。
动量守恒定律
编辑在一个体积 内的电荷,所感受到的总作用力 是
- 。
应用散度定理,可以得到
- ;
其中, 是体积 的闭合表面。
根据牛顿第二定律,
- ;
其中, 是动量。
所以,电荷的动量 可以表达为
- ;
其中, 是储存于电磁场的动量(坡印廷向量 是由电场和磁场组成的一个复合向量)。
稍加编排,可以得到动量守恒定律的积分方程式:
- 。
动量守恒定律阐明,一个体积的总动量(电荷的动量加上电磁场的动量)的增加速率等于每秒钟流入闭合表面的动量。负的马克士威应力张量 是一个动量通量密度。
动量守恒定律也能以微分形式表达为
- ;
其中, 是电荷的动量密度, 是电磁场的动量密度。
相关条目
编辑参考文献
编辑- Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 351–356. ISBN 0-13-805326-X.
- Jefimenko, Oleg. Correct Use of Maxwell Stress Equations for Electric and magnetic Fields. American Journal of Physics. Nov 1983, 51 (11): pp. 988–996.[永久失效链接]