三角形內角的嵌入不等式

三角形內角的嵌入不等式是平面幾何中的一個不等式。在不至於引起歧義的情況下簡稱嵌入不等式。該不等式指出，若A、B、C是一個三角形的三個內角，則對任意實數 x、y、z，有：

$x^{2}+y^{2}+z^{2}\geqslant 2xy\cos C+2yz\cos A+2zx\cos B.$

首先發現此不等式的是英國數學家約瑟夫·沃爾斯滕霍姆。他在1867年出版的《數學問題集》一書中對嵌入不等式做出介紹。

證明

注意到不等式：$(x-y\cos C-z\cos B)^{2}+(y\sin C-z\sin B)^{2}\geqslant 0$ 對所有的實數 x、y、z以及任意角A、B、C成立，將其左側展開，就得到：

$x^{2}+y^{2}(\cos ^{2}C+\sin ^{2}C)+z^{2}(\cos ^{2}B+\sin ^{2}B)-2xy\cos C-2xz\cos B-2yz\sin B\sin C+2yz\cos B\cos C\geqslant 0$

$x^{2}+y^{2}+z^{2}\geqslant 2xy\cos C+2xz\cos B+2yz(\sin B\sin C-\cos B\cos C)$

$x^{2}+y^{2}+z^{2}\geqslant 2xy\cos C+2xz\cos B-2yz\cos(B+C)$

由於A、B、C是三角形內角，$\cos(B+C)=\cos(\pi -A)=-\cos A$，因此上式等價於

$x^{2}+y^{2}+z^{2}\geqslant 2xy\cos C+2xz\cos B+2yz\cos A.$

從證明中可推出，不等式中等號成立當且僅當$y\sin C=z\sin B$和$x=y\cos C+z\cos B$同時成立。也就是說，要麼$x=y=z=0$，要麼$x:y:z=\sin A:\sin B:\sin C$。

推廣與加強

從以上證明中可以看到，證明成立的關鍵是$\cos(B+C)+\cos A=0$，所以可以將條件中的「A、B、C是三角形內角」推廣到「$A+B+C=(2k+1)\pi ,\,k\in \mathbb {N}$」。而如果 $A+B+C=2k\pi$，則$\cos(B+C)=\cos A$，展開恆成立的不等式 $(x+y\cos C+z\cos B)^{2}+(y\sin C-z\sin B)^{2}\geqslant 0$便可得到不等式

$x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy\cos C+2yz\cos A+2zx\cos B\geqslant 0.$

這個不等式和三角形內角的嵌入不等式可以合寫成一個不等式：

如果$A+B+C=k\pi ,\,k\in \mathbb {N}$，那麼對任意實數x、y、z，都有$x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(-1)^{k}(xy\cos C+yz\cos A+zx\cos B)\geqslant 0.$

由於三角形內角的嵌入不等式具有高度對稱性，在應用中也會寫成對稱下標不等式：

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\geqslant 2x_{1}x_{2}\cos \varphi _{3}+2x_{2}x_{3}\cos \varphi _{1}+2x_{3}x_{1}\cos \varphi _{2}.$

或輪換下標不等式：

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\geqslant 2x_{1}x_{2}\cos \varphi _{1}+2x_{2}x_{3}\cos \varphi _{2}+2x_{3}x_{1}\cos \varphi _{3}.$

設 $\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}$是三角形內角，對後一個不等式做變量代換

$x_{1}\rightarrow x_{1}{\sqrt {\frac {\sin \alpha _{2}}{\sin \alpha _{3}\sin \alpha _{1}}}},\,x_{2}\rightarrow x_{2}{\sqrt {\frac {\sin \alpha _{3}}{\sin \alpha _{1}\sin \alpha _{2}}}},\,x_{3}\rightarrow x_{3}{\sqrt {\frac {\sin \alpha _{1}}{\sin \alpha _{2}\sin \alpha _{3}}}},$

可以得到不等式：

$(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}){\frac {\cos \alpha _{1}}{\sin \alpha _{1}}}+(x_{2}^{2}+x_{3}^{2}){\frac {\cos \alpha _{2}}{\sin \alpha _{2}}}+(x_{3}^{2}+x_{1}^{2}){\frac {\cos \alpha _{3}}{\sin \alpha _{3}}}\geqslant 2x_{1}x_{2}{\frac {\cos \varphi _{1}}{\sin \alpha _{1}}}+2x_{2}x_{3}{\frac {\cos \varphi _{2}}{\sin \alpha _{2}}}+2x_{3}x_{1}{\frac {\cos \varphi _{3}}{\sin \alpha _{3}}}.$

由這個不等式可以推出嵌入不等式的另一種推廣：

設$\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n}$滿足 $\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}=\pi$， $\varphi _{1},\varphi _{2},\cdots ,\varphi _{n}$滿足 $\varphi _{1}+\varphi _{2}+\cdots +\varphi _{n}=\pi$，則有：

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {\cos \alpha _{i}}{\sin \alpha _{i}}}(x_{i}^{2}+x_{i+1}^{2})\geqslant 2\sum _{i=1}^{n}x_{i}x_{i+1}{\frac {\cos \varphi _{i}}{\sin \alpha _{i}}}.$

其中$x_{n+1}=x_{1}$。而當$\alpha _{1}=\alpha _{2}=\cdots =\alpha _{n}={\frac {\pi }{n}}$的時候，上面的不等式轉化為：

$\cos {\frac {\pi }{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}^{2}+x_{i+1}^{2})\geqslant 2\sum _{i=1}^{n}x_{i}x_{i+1}\cos \varphi _{i}.$

嵌入不等式是此不等式在$n=3$時的特例。

應用

三角形內角的嵌入不等式將代數不等式和幾何不等式結合起來。運用嵌入不等式可以解決許多幾何不等式，例如以下是運用嵌入不等式證明埃爾德什－莫德爾不等式。

$r_{3}$（紅）小於$w_{3}$（藍）.

埃爾德什-莫德爾不等式是一個二十世紀初期發現的不等式，其聲稱：對於任何三角形和其內部的一點O，點O到三角形三條邊的距離之和總是小於或等於點O到三角形的三個頂點的距離之和的一半。下設這個三角形頂點為$A_{1},A_{2},A_{3}$，點O到這三個頂點的距離分別是$R_{1},R_{2},R_{3}$，到它們對邊的距離分別是$r_{1},r_{2},r_{3}$，則埃爾德什-莫德爾不等式寫作：

$R_{1}+R_{2}+R_{3}\geqslant 2\left(r_{1}+r_{2}+r_{3}\right)$

在嵌入不等式中令$x={\sqrt {R_{1}}},y={\sqrt {R_{2}}},z={\sqrt {R_{3}}}$，$A={\frac {\angle A_{2}OA_{3}}{2}},B={\frac {\angle A_{1}OA_{3}}{2}},C={\frac {\angle A_{1}OA_{2}}{2}}$則可得到：

$R_{1}+R_{2}+R_{3}\geqslant 2\left[{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\cos \left({\frac {\angle A_{1}OA_{2}}{2}}\right)+{\sqrt {R_{2}R_{3}}}\cos \left({\frac {\angle A_{2}OA_{3}}{2}}\right)+{\sqrt {R_{1}R_{3}}}\cos \left({\frac {\angle A_{1}OA_{3}}{2}}\right)\right]$

另一方面，計算三角形$A_{1}OA_{2}$在O點發出的角平分線長度$w_{3}$，可得

$w_{3}={\frac {2R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}\cos \left({\frac {\angle A_{1}OA_{2}}{2}}\right)\leqslant {\sqrt {R_{1}R_{2}}}\cos \left({\frac {\angle A_{1}OA_{2}}{2}}\right).$

同時作為角平分線，其長度必然大於O點到$A_{1}A_{2}$的距離$r_{3}$，所以

$r_{3}\leqslant w_{3}\leqslant {\sqrt {R_{1}R_{2}}}\cos \left({\frac {\angle A_{1}OA_{2}}{2}}\right)$

$r_{1}+r_{2}+r_{3}\leqslant {\sqrt {R_{1}R_{2}}}\cos \left({\frac {\angle A_{1}OA_{2}}{2}}\right)+{\sqrt {R_{2}R_{3}}}\cos \left({\frac {\angle A_{2}OA_{3}}{2}}\right)+{\sqrt {R_{1}R_{3}}}\cos \left({\frac {\angle A_{1}OA_{3}}{2}}\right)$

因此

$R_{1}+R_{2}+R_{3}\geqslant 2\left(r_{1}+r_{2}+r_{3}\right).$

等價形式

設 $A+B+C=k\pi$, $k\in \mathbb {Z}$, $x,y,z\in \mathbb {R}$，則有

$(x+y+z)^{2}\geqslant 4yz\sin ^{2}A+4zx\sin ^{2}B+4xy\sin ^{2}C,$

等號成立當且僅當 $x:y:z=\sin 2A:\sin 2B:\sin 2C$。

證明

$LHS-RHS=(x+y\cos 2C+z\cos 2B)^{2}+(y\sin 2C-z\sin 2B)^{2}.$

推論

對於 $\triangle ABC$，令 $x=ua^{2}$, $y=vb^{2}$, $z=wc^{2}$，其中 $u,v,w\in \mathbb {R}$，即得

$(ua^{2}+vb^{2}+wc^{2})^{2}\geqslant 4\sum vwb^{2}c^{2}\sin ^{2}A=16(vw+wu+uv)S^{2},$

等號成立當且僅當 $ua^{2}:vb^{2}:wc^{2}=\sin 2A:\sin 2B:\sin 2C$，即 $u:v:w=\cot A:\cot B:\cot C$。

一般形式

若非零實數 $p,q,r$ 滿足 $2(pq+qr+rp)\geqslant p^{2}+q^{2}+r^{2}$，則對任意實數 $x,y,z$ 恆有

$(x+y+z)^{2}\geqslant {\frac {2(pq+qr+rp)-p^{2}-q^{2}-r^{2}}{pqr}}(pyz+qzx+rxy).$

證明：

${\begin{aligned}&{\rm {LHS-RHS}}\\={}&\left(x+y+z-{\frac {2(pq+qr+rp)-p^{2}-q^{2}-r^{2}}{2pqr}}(ry+qz)\right)^{2}\\&+{\frac {2(pq+qr+rp)-p^{2}-q^{2}-r^{2}}{4p^{2}q^{2}r^{2}}}{\bigl (}(p+q-r)ry-(p-q+r)qz{\bigr )}^{2}.\end{aligned}}$

參見

• 三角不等式
• 外森比克不等式