二次函數

在數學中，二次函數（英語：quadratic function）表示形為 $f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!$ （ $a\neq 0\,\!$ ，且 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是常數）的多項式函數，其中， $x$ 為自變量^[a]， $a$ 、 $b$ 、 $c$ 分別是函數解析式的二次項係數、一次項係數和常數項。二次函數的圖像是一條主軸平行於 $y$ 軸的拋物線。^[1]

二次函數表達式 $ax^{2}+bx+c$ 的定義是一個二次多項式，因為 $x$ 的最高冪次是2。

如果令二次函數的值等於零，則可得一個一元二次方程式、二次方程式。該方程的解稱為方程的根或函數的零點。

歷史

大約在公元前480年，古巴比倫人和中國人已經使用配方法求得了二次方程的正根，但是並沒有提出通用的求解方法。公元前300年左右，歐幾里得提出了一種更抽象的幾何方法求解二次方程。

7世紀印度的婆羅摩笈多是第一位懂得用使用代數方程的人，它同時容許有正負數的根。^[b]

11世紀阿拉伯的花拉子米獨立地發展了一套公式以求方程的正數解。亞伯拉罕·巴希亞（亦以拉丁文名字薩瓦索達著稱）在他的著作Liber embadorum，首次將完整的一元二次方程解法傳入歐洲。^[c]

根

二次方程 $ax^{2}+bx+c=0\,\!$ 的兩個根為： $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ 解方程後，我們會得到兩個根： $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 。則點 $(x_{1},0)$ 和 $(x_{2},0)$ 就是二次函數與 $x$ 軸的交點。根的類型如下：

設 $\Delta =b^{2}-4ac\,$ 為一元二次方程式的判別式，又記作D。
當 $\Delta >0\,\!$ ，則方程有兩個不相等的根，也即與 $x$ 軸有兩個不重疊的交點，因為 ${\sqrt {\Delta }}$ 是正數。
當 $\Delta =0\,\!$ ，則方程有兩個相等的根，也即與 $x$ 軸有一個切點，因為 ${\sqrt {\Delta }}$ 是零。
當 $\Delta <0\,\!$ ，則方程沒有實數根，也即與 $x$ 軸沒有交點，因為 ${\sqrt {\Delta }}$ 是共軛複數。

設 $r_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ 和 $r_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ ，我們可以把 $ax^{2}+bx+c\,\!$ 因式分解為 $a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!$ 。

二次函數的形式

二次函數可以表示成以下三種形式：

$f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!$ 稱為一般形式或多項式形式。
$f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!$ 稱為因子形式或交點式，其中 $r_{1}$ 和 $r_{2}$ 是二次方程的兩個根， $(r_{1},0)$ , $(r_{2},0)$ 是拋物線與 $x$ 軸的兩個交點。
$f(x)=a(x-h)^{2}+k\,\!$ 稱為標準形式或頂點形式， $(h,k)$ 即為此二次函數的頂點。

把一般形式轉換成因子形式時，我們需要用求根公式來算出兩個根 $r_{1}$ 和 $r_{2}$ ，或是利用十字交乘法（適用於有理數）。把一般形式轉換成標準形式時，我們需要用配方法。把因子形式轉換成一般形式時，我們需要把兩個因式相乘並展開。把因子形式轉換成標準形式有特殊的方法。

$h$ 代表了二次函數的對稱軸，因此兩根的平均數即為 $h$

$k$ 展開後比較後可得 $k=-a\left({\frac {|r_{1}-r_{2}|}{2}}\right)^{2}$

不通過 $r_{1}$ 和 $r_{2}$ 求 $k$ 及 $h$ 公式：

$h=-{\frac {b}{2a}}$
$k=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}$ (也作 $k={\frac {4ac-b^{2}}{4a}}$ )

而在三種形式中皆出現的 $a$ 為此二次函數的領導係數，決定二次函數圖像開口的大小與方向。

圖像

f(x)=ax^{2}|_{a=\{0.1,0.3,1,3\}}

f(x)=x^{2}+bx|_{b=\{1,2,3,4\}}

f(x)=x^{2}+bx|_{b=\{-1,-2,-3,-4\}}

係數 $a$ 控制了二次函數從頂點的增長（或下降）速度，即二次函數開口方向和大小。 $|a|$ 越大，開口越小，函數就增長得越快。
係數 $b$ 和 $a$ 控制了拋物線的對稱軸（以及頂點的 $x$ 坐標）。
係數 $b$ 控制了拋物線穿過 $y$ 軸時的傾斜度（導數）。
係數 $c$ 控制了拋物線最低點或最高點的高度，它是拋物線與 $y$ 軸的交點。

函數	圖像	函數變化	對稱軸	開口方向	最大（小）值
$y=ax^{2}$	$a>0$	當 $x>0$ 時， $y$ 隨 $x$ 的增大而增大；當 $x<0$ 時， $y$ 隨 $x$ 的減小而增大	$y$ 軸或 $x=0$	向上	$0$
$y=ax^{2}$	$a<0$	當 $x>0$ 時， $y$ 隨 $x$ 的增大而減小；當 $x<0$ 時， $y$ 隨 $x$ 的減小而減小	$y$ 軸或 $x=0$	向下	$0$
$y=ax^{2}+c$	$a>0$	當 $x>0$ 時， $y$ 隨 $x$ 的增大而增大；當 $x<0$ 時， $y$ 隨 $x$ 的減小而增大	$y$ 軸或 $x=0$	向上	$c$
$y=ax^{2}+c$	$a<0$	當 $x>0$ 時， $y$ 隨 $x$ 的增大而減小；當 $x<0$ 時， $y$ 隨 $x$ 的減小而減小	$y$ 軸或 $x=0$	向下	$c$
$y=ax^{2}+bx+c$	$a>0$	當 $x>-{\frac {b}{2a}}$ 時， $y$ 隨 $x$ 的增大而增大；當 $x<-{\frac {b}{2a}}$ 時， $y$ 隨 $x$ 的減小而增大	$x=-{\frac {b}{2a}}$	向上	$-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}$
$y=ax^{2}+bx+c$	$a<0$	當 $x>-{\frac {b}{2a}}$ 時， $y$ 隨 $x$ 的增大而減小；當 $x<-{\frac {b}{2a}}$ 時， $y$ 隨 $x$ 的減小而減小	$x=-{\frac {b}{2a}}$	向下	$-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}$

x 截距

當函數與 $x$ 軸有兩個交點時，設這兩個交點分別為 $A(x_{1},0),\,B(x_{2},0)$ ，由根與係數的關係得出^[d]： $x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}$ 和 $x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}$

{\begin{aligned}\therefore AB&=|x_{2}-x_{1}|\\&=\left|{\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}}}\right|\\&=\left|{\sqrt {(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}}\right|\\&=\left|{\sqrt {\left(-{\frac {b}{a}}\right)^{2}-{\frac {4c}{a}}}}\right|\\&=\left|{\sqrt {{\frac {b^{2}}{a^{2}}}-{\frac {4ac}{a^{2}}}}}\right|\\&=\left|{\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{a^{2}}}}\right|\\&={\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{|a|}}\ \ \ \ {\text{或}}\ \ \ \ {\frac {\sqrt {\Delta }}{|a|}}\end{aligned}}

頂點

拋物線的頂點是它轉彎的地方，也稱為駐點。如果二次函數是標準形式，則頂點為 $(h,k)\,\!$ 。用配方法，可以把一般形式 $f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!$ 化為： $f(x)=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}$ ^[2]^[3]

因此在一般形式中，拋物線的頂點是： $\left(-{\frac {b}{2a}},-{\frac {\Delta }{4a}}\right)$ 如果二次函數是因子形式 $f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!$ ，則兩個根的平均數 ${\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}\,\!$ 就是頂點的 $x$ 坐標，因此頂點位於 $\left({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}},f({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}})\right)\!$ $a<0\,\!$ 時，頂點也是最大值； $a>0\,\!$ 時，則是最小值。

經過頂點的豎直線 $x=h=-{\frac {b}{2a}}$ 又稱為拋物線的對稱軸。

最大值和最小值

導數法

函數的最大值和最小值總是在駐點（又稱臨界點，穩定點）取得。以下的方法是用導數法來推導相同的事實，這種方法的好處是適用於更一般的函數。

設有函數 $f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!$ ，尋找它的極值時，我們必須先求出它的導數： $f(x)=ax^{2}+bx+c\Leftrightarrow \,\!f'(x)=2ax+b\,\!$ 然後，求出 $f'(x)\,\!$ 的根： $2ax+b=0\Rightarrow \,\!2ax=-b\Rightarrow \,\!x=-{\frac {b}{2a}}$ 因此， $-{\frac {b}{2a}}$ 是 $f(x)\,\!$ 的 $x\,\!$ 值。現在，為了求出 $y\,\!$ ，我們把 $x=-{\frac {b}{2a}}$ 代入 $f(x)\,\!$ ： $y=a\left(-{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+b\left(-{\frac {b}{2a}}\right)+c\Rightarrow y={\frac {ab^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {b^{2}}{2a}}+c\Rightarrow y={\frac {b^{2}}{4a}}-{\frac {b^{2}}{2a}}+c\Rightarrow y={\frac {b^{2}-2b^{2}+4ac}{4a}}\Rightarrow y={\frac {-b^{2}+4ac}{4a}}\Rightarrow y=-{\frac {(b^{2}-4ac)}{4a}}\Rightarrow y=-{\frac {\Delta }{4a}}$ 所以，最大值或最小值的坐標為： $\left(-{\frac {b}{2a}},-{\frac {\Delta }{4a}}\right)$

配方法

${\begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\\&=a(x^{2}+{\frac {b}{a}}x)+c\\&=a\left[x^{2}+{\frac {b}{a}}x+({\frac {b}{2a}})^{2}\right]+c-a({\frac {b}{2a}})^{2}\\&=a(x+{\frac {b}{2a}})^{2}+{\frac {4ac}{4a}}-{\frac {b^{2}}{4a}}\\&=a(x+{\frac {b}{2a}})^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}\\\end{aligned}}$

由於實數的二次方皆大於等於0，因此當 $x=-{\frac {b}{2a}}$ 時， $f(x)$ 有最大或最小值 ${\frac {4ac-b^{2}}{4a}}$ 。

二次函數的平方根

二次函數的平方根的圖像要麼是橢圓，要麼是雙曲線。如果 $a>0\,\!$ ，則方程 $y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$ 描述了一條雙曲線。該雙曲線的軸由對應的拋物線 $y_{p}=ax^{2}+bx+c\,\!$ 的最小值決定。如果最小值是負數，則雙曲線的軸是水平的。如果是正數，則雙曲線的軸是豎直的。如果 $a<0\,\!$ ，則方程 $y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$ 的圖像要麼是一個橢圓，要麼什麼也沒有。如果對應的拋物線 $y_{p}=ax^{2}+bx+c\,\!$ 的最大值是正數，則它的平方根描述了一個橢圓。如果是負數，則描述了一個空集。

二元二次函數

二元二次函數是以下形式的二次多項式： $f(x,y)=Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+Exy+F\,\!$ 這個函數描述了一個二次曲面。把 $f(x,y)\,\!$ 設為零，則描述了曲面與平面 $z=0\,\!$ 的交線，它是一條圓錐曲線。

最小值/最大值

如果 $4AB-E^{2}<0\,$ ，則函數沒有最大值或最小值，其圖像是雙曲拋物面。

如果 $4AB-E^{2}>0\,$ ，則當 $A>0$ 時函數具有最小值，當 $A<0$ 具有最大值。其圖像是橢圓拋物面。

二元二次函數的最大值或最小值在點 $(x_{m},y_{m})\,$ 取得，其中： $x_{m}=-{\frac {2BC-DE}{4AB-E^{2}}}$ $y_{m}=-{\frac {2AD-CE}{4AB-E^{2}}}$ 如果 $4AB-E^{2}=0\,$ 且 $DE-2CB=2AD-CE\neq 0\,$ ，則函數沒有最大值或最小值，其圖像是拋物柱面。