幂

此条目的主题是代数概念。关于几何定理，请见“圆幂定理”。

在数学中，重复连乘的运算叫做乘方，乘方的结果称为 幂（英语：mathematical power，power）；由此，若 $n$ 为正整数，$n$ 个相同的数 $b$ 连续相乘（即 $b$ 自乘 $n$ 次），就可将 $b^{n}$ 看作乘方的结果 ——“幂”。

bn
记号
底数$b$ 与 指数$n$

$b^{n}=\underbrace {b\times \cdots \times b} _{n}$

幂运算（exponentiation）又称指数运算、取幂，是数学运算，表达式为 $b^{n}$，读作“$b$ 的 $n$ 次方”或“$b$ 的 $n$ 次幂”。其中，$b$ 称为底数，而 $n$ 称为指数，通常指数写成上标，放在底数的右边。在纯文字格式等不能用上标的情况，例如在编程语言或电子邮件中，$b^{n}$ 通常写成 b^n 或 b**n；也可视为超运算，记为 b[3]n；亦可以用高德纳箭号表示法，写成 b↑n。

当指数为 1 时，通常不写出来，因为运算出的值和底数的数值一样；指数为 2 时，可以读作“$b$ 的平方”；指数为 3 时，可以读作“$b$ 的立方”。

由于在十进制中，十的幂很容易计算，只需在后面加零即可，所以科学记数法借此简化记录的数字；二的幂则在计算机科学中相当重要。

起始值 1（乘法的单位元）乘上底数（$b$）自乘指数（$n$）这么多次。这样定义了后，很易想到如何一般化指数 0 和负数的情况：指数是零时，底数不为零，幂均为一（即除 0 外，所有数的 0 次方都是 1 ）；指数是负数时，就等于重复除以底数（或底数的倒数自乘指数这么多次），即：

$b^{0}=1\qquad (b\neq 0)$

$b^{-n}={1 \over \underbrace {b\times \cdots \times b} _{n}}={\frac {1}{b^{n}}}=\left({\frac {1}{b}}\right)^{n}\qquad (b\neq 0)$。

若以分数为指数的幂，则定义：

$b^{\frac {n}{m}}={\sqrt[{m}]{b^{n}}}$，

即 $b$ 的 $n$ 次方再开 $m$ 次方根。

0的0次方（$0^{0}$）目前没有数学家给予正式的定义；在部分数学领域中，如组合数学，常用的惯例是定义为 1 。

此外，当 $n$ 是复数，且 $b$ 是正实数时，

$b^{n}=\exp(n\ln(b))$

exp 是指数函数，而 ln 是自然对数。

重要的恒等式

运算法则

• 同底数幂相乘，底数不变，指数相加：

$a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$

• 同底数幂相除，底数不变，指数相减：

$a^{m}\div a^{n}=a^{m-n}$

• 同指数幂相除，指数不变，底数相除($b$不为0)：

${\frac {a^{n}}{b^{n}}}=\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}$

其他等式

• $x^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{x^{m}}}$
• $x^{-m}={\frac {1}{x^{m}}}\qquad (x\neq 0)$
• $x^{0}=1\qquad (x\neq 0)$
• $x^{1}=x\,\!$
• $x^{-1}={\frac {1}{x}}\qquad (x\neq 0)$

运算律

加法和乘法存在交换律，比如：$2+3=5=3+2$，$2\times 3=6=3\times 2$，但是幂的运算不存在交换律，$2^{3}=8$，但是$3^{2}=9$。

同样，加法和乘法存在结合律，比如：$(2+3)+4=9=2+(3+4)$，$(2\times 3)\times 4=24=2\times (3\times 4)$。不过，幂运算没有结合律：$(2^{3})^{4}=8^{4}=4096$，而$2^{(3^{4})}=2^{81}=2,417,851,639,229,258,349,412,352$，所以$(2^{3})^{4}\neq 2^{(3^{4})}$。

但是幂运算仍然有其运算律，称为指数律：

• $a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$
• ${\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}$
• $(a^{m})^{n}=a^{mn}$
• ${\sqrt[{n}]{a^{m}}}=a^{\frac {m}{n}}$
• $a^{n}\cdot b^{n}=(a\cdot b)^{n}$
• ${\frac {a^{n}}{b^{n}}}=\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}$

整数指数幂

整数指数幂的运算只需要初等代数的知识。

正整数指数幂

表达式$a^{2}=a\cdot a$被称作$a$的平方，因为边长为$a$的正方形面积是$a^{2}$。

表达式$a^{3}=a\cdot a\cdot a$被称作$a$的立方，因为边长为$a$的正方体体积是$a^{3}$。

所以$3^{2}$读作“3的平方”，$2^{3}$读作“2的立方”。

指数表示的是底数反复相乘多少次。比如$3^{5}=3\times 3\times 3\times 3\times 3=243$，指数是5，底数是3，表示3反复相乘5次。

或者，整数指数幂可以递归地定义成：

$a^{n}={\begin{cases}1&(n=0)\\a\cdot a^{n-1}&(n>0)\\\left({\frac {1}{a}}\right)^{-n}&(n<0)\end{cases}}$

指数是1或者0

注意$3^{1}$表示仅仅1个3的乘积，就等于3。

注意$3^{5}=3\times 3^{4}$，$3^{4}=3\times 3^{3}$，$3^{3}=3\times 3^{2}$，$3^{2}=3\times 3^{1}$，

继续，得到$3^{1}=3\times 3^{0}=3$，所以$3^{0}=1$

另一个得到此结论的方法是：通过运算法则${\frac {x^{n}}{x^{m}}}=x^{n-m}$

当$m=n$时，$1={\frac {x^{n}}{x^{n}}}=x^{n-n}=x^{0}$

• 任何数的1次方是它本身。

零的零次方

主条目：零的零次方

$0^{0}$ 其实还并未被数学家完整的定义，但部分看法是$0^{0}=1$ ，在程式语言中（python） $0**0=1$

在这里给出这一种极限的看法

$\lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=0^{0}$ 于是，可以求出 x 取值从 1 到 0.0000001 计算得到的值，如图

负数指数

我们定义任何不为 0 的数 a 的 -1 次方等于它的倒数。

$a^{-1}={\frac {1}{a}}$

对于非零$a$定义

$a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}$,

而$a=0$时分母为 0 没有意义。

证法一：

根据定义$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$，当$m=-n$时

$a^{-n}\,a^{n}=a^{-n\,+\,n}=a^{0}=1,$

得$a^{-n}\,a^{n}=1$, 所以$a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}$。

证法二：

通过运算法则${\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}$

当$m=0$时，可得$a^{-n}=a^{0-n}={\frac {a^{0}}{a^{n}}}={\frac {1}{a^{n}}}$

负数指数$a^{-n}$还可以表示成1连续除以$n$个$a$。比如：

$3^{-4}={\frac {\frac {\frac {\frac {1}{3}}{3}}{3}}{3}}={\frac {1}{81}}={\frac {1}{3^{4}}}$.

特殊数的幂

10的幂

主条目：科学计数法

在十进制的计数系统中，10的幂写成1后面跟着很多个0。例如：$10^{3}=1000,\ 10^{-3}=0.001$

因此10的幂用来表示非常大或者非常小的数字。如：299,792,458（真空中光速，单位是米每秒），可以写成 $2.99792458\times 10^{8}$，近似值 $2.998\times 10^{8}$ 或 $3\times 10^{8}$

国际单位制词头也使用10的幂来描述特别大或者特别小的数字，比如：词头“千”就是 $10^{3}$，词头“毫”就是 $10^{-3}$

2的幂

主条目：2的幂

1的幂

1的任何次幂都为1。

0的幂

0的正数幂都等于0。

0的负数幂没有定义。

任何非0之数的0次方都是1；而0的0次方是悬而未决的，某些领域下常用的惯例是约定为1。但某些教科书表示0的0次方为无意义。也有人主张定义为1。

负1的幂

-1的奇数幂等于-1

-1的偶数幂等于1

指数非常大时的幂

一个大于1的数的幂趋于无穷大，一个小于-1的数的幂趋于负无穷大

当$a>1$，$n\to \infty$，$a^{n}\to \infty$

当$a<-1$，$n\to \infty$，$a^{n}\to -\infty$ 或 $\infty$ , (视乎n 是奇数或偶数)

一个绝对值小于1的数的幂趋于0

当$|a|<1$，$n\to \infty$，$a^{n}\to 0$

1的幂永远都是1

当$a=1$，$n\to \infty$，$a^{n}\to 1$

如果数a趋于1而它的幂趋于无穷，那么极限并不一定是上面几个。一个很重要的例子是：

当$n\to \infty ,\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\to e$

参见e的幂

其他指数的极限参见幂的极限

正实数的实数幂

一个正实数的实数幂可以通过两种方法实现。

• 有理数幂可以通过N次方根定义，任何非0实数次幂都可以这样定义
• 自然对数可以被用来通过指数函数定义实数幂

N次方根

从上到下：$x^{\frac {1}{8}},\ x^{\frac {1}{4}},\ x^{\frac {1}{2}},\ x^{1},\ x^{2},\ x^{4},\ x^{8}$

主条目：方根

一个数$a$的$n$次方根是$x$，$x$使$x^{n}=a$。

如果$a$是一个正实数，$n$是正整数，那么方程$x^{n}=a$只有一个正实数根。 这个根被称为$a$的$n$次方根，记作：${\sqrt[{n}]{a}}$，其中${\sqrt {\ }}$叫做根号。或者，$a$的$n$次方根也可以写成$a^{\frac {1}{n}}$. 例如$4^{\frac {1}{2}}=2,\ 8^{\frac {1}{3}}=2$

当指数是${\frac {1}{2}}$时根号上的2可以省略，如：${\sqrt {4}}=4^{\frac {1}{2}}={\sqrt[{2}]{4}}=2$

有理数幂

有理数指数幂定义为

$a^{\frac {m}{n}}=(a^{m})^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}$

e的幂

主条目：指数函数

这个重要的数学常数e，有时叫做欧拉数，近似2.718，是自然对数的底。它提供了定义非整数指数幂的一个方法。 它是从以下极限定义的：

$e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$

指数函数的定义是：

$e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}$

可以很简单地证明e的正整数k次方$e^{k}$是：

$e^{k}=\left[\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right]^{k}$

$=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {k}{n\cdot k}}\right)^{n\cdot k}$

$=\lim _{n\cdot k\to \infty }\left(1+{\frac {k}{n\cdot k}}\right)^{n\cdot k}$

$=\lim _{m\to \infty }\left(1+{\frac {k}{m}}\right)^{m}$

实数指数幂

y = b^x对各种底数b的图像，分别为绿色的10、红色的e、蓝色的2和青色的1/2。

因为所有实数可以近似地表示为有理数，任意实数指数x可以定义成：

$b^{x}=\lim _{r\to x}b^{r},$

例如：

$x\approx 1.732$

于是

$5^{x}\approx 5^{1.732}=5^{\frac {433}{250}}={\sqrt[{250}]{5^{433}}}\approx 16.241$

实数指数幂通常使用对数来定义，而不是近似有理数。

自然对数$\ln {x}$是指数函数$e^{x}$的反函数。 它的定义是：对于任意$b>0$，满足

$b=e^{\ln b}$

根据对数和指数运算的规则：

$b^{x}=(e^{\ln b})^{x}=e^{x\cdot \ln b}$

这就是实数指数幂的定义：

$b^{x}=e^{x\cdot \ln b}\,$

实数指数幂$b^{x}$的这个定义和上面使用有理数指数和连续性的定义相吻合。对于复数，这种定义更加常用。

负实数的实数幂

如果$a$是负数且$n$是偶数，那么$x=a^{n}$是正数。如果$a$是负数且$n$是奇数，那么$x=a^{n}$是负数。

使用对数和有理数指数都不能将$a^{k}$（其中$a$是负实数，$k$实数）定义成实数。在一些特殊情况下，给出一个定义是可行的：负指数的整数指数幂是实数，有理数指数幂对于$a^{\frac {m}{n}}$（$n$是奇数）可以使用$n$次方根来计算，但是因为没有实数$x$使$x^{2}=-1$，对于$a^{\frac {m}{n}}$（$n$是偶数）时必须使用虚数单位$i$。

使用对数的方法不能定义$a\leq 0$时的$a^{k}$为实数。实际上，$e^{x}$对于任何实数$x$都是正的，所以$\ln(a)$对于负数没有意义。

使用有理数指数幂来逼近的方法也不能用于负数$a$因为它依赖于连续性。函数$f(r)=a^{r}$对于任何正的有理数$a$是连续的，但是对于负数$a$，函数$f$在有些有理数$r$上甚至不是连续的。

例如：当$a=-1$，它的奇数次根等于-1。所以如果$n$是正奇数整数，$-1^{\frac {m}{n}}=-1$当$m$是奇数，$-1^{\frac {m}{n}}=1$当$m$是偶数。虽然有理数$q$使$-1^{q}=1$的集合是稠密集，但是有理数$q$使$-1^{q}=-1$的集合也是。所以函数$-1^{q}$在有理数域不是连续的。

因此，如果要求负实数的任意实数幂，必须将底数和指数看成复数，按复数的正实数幂或复数的复数幂方法计算。

正实数的复数幂

e的虚数次幂

主条目：指数函数

指数函数e^z可以通过(1 + z/N)^N当N趋于无穷大时的极限来定义，那么e^iπ就是(1 + iπ/N)^N的极限。在这个动画中n从1取到100。(1 + iπ/N)^N的值通过N重复增加在复数平面上展示，最终结果就是(1 + iπ/N)^N的准确值。可以看出，随着N的增大，(1 + iπ/N)^N逐渐逼近极限-1。这就是欧拉公式。

复数运算的几何意义和e的幂可以帮助我们理解$e^{ix}$（$x$是实数），即纯虚数指数函数。想象一个直角三角形$(0,1,1+{\frac {ix}{n}})$（括号内是复数平面内三角形的三个顶点），对于足够大的$n$，这个三角形可以看作一个扇形，这个扇形的中心角就等于${\frac {x}{n}}$弧度。对于所有$k$，三角形$(0,(1+{\frac {ix}{n}})^{k},(1+{\frac {ix}{n}})^{k+1})$互为相似三角形。所以当$n$足够大时$(1+{\frac {ix}{n}})^{n}$的极限是复数平面上的单位圆上$x$弧度的点。这个点的极坐标是$(r,\theta )=(1,x)$，直角坐标是$(\cos x,\sin x)$。所以$e^{ix}=\cos x+i\sin x$，而这个函数可以称为纯虚数指数函数。这就是欧拉公式，它通过复数的意义将代数学和三角学联系起来了。

等式$e^{z}=1$的解是一个整数乘以$2i\pi$：

$\{z:e^{z}=1\}=\{2k\pi i:k\in \mathbb {Z} \}.$

更一般地，如果$e^{b}=a$，那么$e^{z}=a$的每一个解都可以通过将$2i\pi$的整数倍加上$b$得到：

$\{z:e^{z}=a\}=\{b+2k\pi i:k\in \mathbb {Z} \}.$

这个复指数函数是一个有周期$2i\pi$的周期函数。

更简单的：$e^{i\pi }=-1;\ e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y)$。

三角函数

主条目：欧拉公式

根据欧拉公式，三角函数余弦和正弦是：

$\cos z={\frac {e^{i\cdot z}+e^{-i\cdot z}}{2}}\qquad \sin z={\frac {e^{i\cdot z}-e^{-i\cdot z}}{2\cdot i}}$

历史上，在复数发明之前，余弦和正弦是用几何的方法定义的。上面的公式将复杂的三角函数的求和公式转换成了简单的指数方程

$e^{i\cdot (x+y)}=e^{i\cdot x}\cdot e^{i\cdot y}.\,$

使用了复数指数幂之后，很多三角学问题都能够使用代数方法解决。

e的复数指数幂

$e^{x+iy}$可以分解成$e^{x}\cdot e^{iy}$。其中$e^{x}$是$e^{x+iy}$的模，$e^{iy}$决定了$e^{x+iy}$的方向

正实数的复数幂

如果$a$是一个正实数，$z$是任何复数，$a^{z}$定义成$e^{z\cdot \ln(a)}$，其中$x=\ln(a)$是方程$e^{x}=a$的唯一解。所以处理实数的方法同样可以用来处理复数。

例如：

$2^{i}=e^{i\cdot \ln(2)}=\cos {\ln 2}+i\cdot \sin {\ln 2}=0.7692+0.63896i$

${{e}^{i}}=0.5403023+0.841471i$

${{10}^{i}}=-0.6682015+0.7439803i$

$(e^{2\pi })^{i}=535.49^{i}=1$

复数的复数幂

复数的虚数幂

让我们从一个简单的例子开始：计算$\left(1+i\right)^{i}$。

${\begin{aligned}\left(1+i\right)^{i}&=\left[{\sqrt {2}}\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i\right)\right]^{i}\\&=\left({\sqrt {2}}e^{{\tfrac {\pi }{4}}i}\right)^{i}\\&=e^{-{\tfrac {\pi }{4}}}{\sqrt {2}}^{i}\\&=e^{-{\tfrac {\pi }{4}}}\cos {\frac {\ln 2}{2}}+ie^{-{\tfrac {\pi }{4}}}\sin {\frac {\ln 2}{2}}\\\end{aligned}}$

其中${\sqrt {2}}^{i}$的得法参见上文正实数的复数幂

复数的复数幂

类似地，在计算复数的复数幂时，我们可以将指数的实部与虚部分开以进行幂计算。例如计算$\left(1+i\right)^{2+i}$：

${\begin{aligned}\left(1+i\right)^{2+i}&=\left(1+i\right)^{2}\left(1+i\right)^{i}\\&=2ie^{-{\tfrac {\pi }{4}}}\left(\cos {\frac {\ln 2}{2}}+i\sin {\frac {\ln 2}{2}}\right)\\&=-2e^{-{\tfrac {\pi }{4}}}\sin {\frac {\ln 2}{2}}+2ie^{-{\tfrac {\pi }{4}}}\cos {\frac {\ln 2}{2}}\\\end{aligned}}$

一般情况

复数的复数幂必须首先化为底数为$e$的形式：

$w^{z}=e^{z\ln w}$

又，由复数的极坐标表示法：

$w=re^{i\theta }$

故

$w^{z}=e^{z\ln(w)}=e^{z(\ln(r)+i\theta )}$。

然后，使用欧拉公式处理即可。

由于复数的极坐标表示法中，辐角$\theta$的取值是具有周期性的，因此复数的复数幂在大多数情况下是多值函数。不过实际应用中，为了简便起见，辐角都只取主值，从而使幂值唯一。

在函数中

当函数名后有上标的数（即函数的指数），一般指要重复它的运算。例如$f^{3}(x)$即$f(f(f(x)))$。特别地，$f^{-1}(x)$指$f(x)$的反函数。

但三角函数的情况有所不同，一个正指数应用于函数的名字时，指答案要进行乘方运算，而指数为-1时则表示其反函数。例如：$(\sin x)^{-1}$表示$\csc x$。因此在三角函数时，使用$\sin ^{-1}x$来表示$\sin x$的反函数$\arcsin x$。

计算自然数（正整数）$n$的$a^{n}$的算法

最快的方式计算$a^{n}$，当$n$是正整数的时候。它利用了测试一个数是奇数在计算机上是非常容易的，和通过简单的移所有位向右来除以2的事实。

在C/C++语言中，你可以写如下算法：

double power(double a, unsigned int n)
{
    double y = 1;
    double f = a;
    while (n > 0) {
       if (n % 2 == 1) y *= f;
       n >>= 1;
       f *= f;
    }
    return y;
}

此算法的时间复杂度为$\mathrm {O} (\log n)\!$，比普通算法快（a自乘100次，时间复杂度为$\mathrm {O} (n)\!$），在$n$较大的时候更为显著。

例如计算$a^{100}$，普通算法需要算100次，上述算法则只需要算7次。若要计算$a^{n}(n<0)$可先以上述算法计算$a^{|n|}$，再作倒数。

另见

• 迭代幂次

外部链接

• 指数的历史