八面半八面體
在幾何學中，八面半八面體是一種非凸多面體，屬於星形多面體及均勻多面體[1]，也可以歸類在非凸均勻多面體，其索引為U3。八面半八面體由8個正三角形和4個正六邊形組成，且每個頂點對應的角皆相等，因此也可以被歸類為擬正多面體[2]，然而由於這個立體同時具備半多面體的特性，因此被部分學者分成一類新的立體，即擬正半多面體（Versi-Regular Polyhedra），這類立體共有九個，最早在1881年由亞伯特·巴杜羅（Albert Badoureau）發現並描述[3]。特別地，這個立體的邊長與外接球半徑相等[4]。八面半八面體可以與星形八面體共同堆砌填滿空間，因此曾應用於建築結構中。[5]
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| 類別 | 星形均勻多面體 | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| 對偶多面體 | 八面半無窮星形八面體 | ||||
| 識別 | |||||
| 名稱 | 八面半八面體 | ||||
| 參考索引 | U3, C37, W68 | ||||
| 鮑爾斯縮寫 | oho | ||||
| 數學表示法 | |||||
| 考克斯特符號 |     | ||||
| 威佐夫符號 | 3/2 3 | 3 | ||||
| 性質 | |||||
| 面 | 12 | ||||
| 邊 | 24 | ||||
| 頂點 | 12 | ||||
| 歐拉特徵數 | F=12, E=24, V=12 （χ=0） | ||||
| 虧格 | -1 | ||||
| 組成與佈局 | |||||
| 面的種類 | 8個三角形{3} 4個六邊形{6} 存在半三角形{3/2} 一種抽象多胞形 | ||||
| 面的佈局 | 8{3}+4{6} | ||||
| 頂點圖 | 3.6.3/2.6 | ||||
| 對稱性 | |||||
| 對稱群 | Oh, [4,3], *432 | ||||
| 特性 | |||||
| 均勻 | |||||
| 圖像 | |||||
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性質
編輯八面半八面體共有12個面、24條邊和12個頂點[6][7]，是一種十二面體，每個頂點都是2個正三角形和2個六邊形的公共頂點。[6]
定向性
編輯八面半八面體是唯一可定向且歐拉示性數為零的半多面體，[8]這意味著其具有拓撲環面的性質。[9]
 八面半八面體 |
 八面半八面體在拓樸上的展開圖可以排佈為分割成8個正三角形和4個正六邊形的菱形。所有頂點的角虧為零 |
 這個展開圖是截半六邊形鑲嵌的一部份，在威佐夫符號中計為3 3 | 3、考克斯特-狄肯記號計為  
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二面角
編輯八面半八面體僅有一種二面角，為三角形和六邊形的棱之交角，其值為三分之一的反餘弦值[10][11]：
其值約為70度31分43.6秒
頂點座標
編輯由於其凸包為截半立方體，因此其12頂點會與截半立方體相同，為(0, ±1, ±1),(±1, 0, ±1),(±1, ±1, 0)，若邊長為a，則座標要縮放 倍。[12]
作為簡單多面體
編輯八面半八面體具有抽象多胞形半三角形面和互相相交的六邊形面，但若去除相交的面作為一個簡單多面體，則其可以視為由32個正三角形組成的凹多面體[13][14]。這種多面體共有32個面、48條邊和13個頂點，其結構與四角化截半立方體拓樸同構，不過四角化截半立方體有18個頂點而這種多面體僅有13個頂點是因為有6個頂點在中心共用。另一方面，這個立體也可以視為由8個正四面體組合而成。[15]:103
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四角化截半立方體 -
截半立方體 -
倒四角化截半立方體
八面半八面體
對偶多面體
編輯 | ||
| 類別 | 無窮星形多面體 | |
|---|---|---|
| 對偶多面體 | 八面半八面體 | |
| 識別 | ||
| 名稱 | 八面半無窮星形八面體 | |
| 參考索引 | DU3 | |
| 數學表示法 | ||
| 考克斯特符號 |   | |
| 性質 | ||
| 面 | 12 | |
| 邊 | 24 | |
| 頂點 | 12 | |
| 歐拉特徵數 | F=12, E=24, V=12 （χ=0） | |
| 組成與佈局 | ||
| 面的種類 | 12個四條稜的抽象多胞形 | |
| 頂點圖 | 每個頂點周圍都有3個面 | |
| 對稱性 | ||
| 對稱群 | Oh, [4,3], *432 | |
| 圖像 | ||
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八面半八面體的對偶多面體是八面半無窮星形八面體。其外觀與立方半無窮星形八面體相同[16]。
從定義上來看，對偶多面體的面會與原始立體的頂點圖相同，同時頂點周圍之面的排列方式會和原始立體的面之邊相同，也就是說對偶多面體的頂點圖為原始立體的面[17]。由於八面半無窮星形八面體是八面半八面體的對偶多面體，而八面半八面體的12個頂點皆為4個面的公共頂點，因此八面半無窮星形八面體的面理應具有12個面，每個面由4個邊組成[7]。然而八面半八面體有部分面幾何中心落在整個立體的幾何中心上，因此其對偶多面體的頂點會落在無窮遠處，即無窮實射影平面上的點。[18]一般來說，這樣的立體無法被具象化[7]。為了具像化這種立體，溫尼爾在著作《對偶模型》中將其描述為由無限高的柱體組合構成的立體，在這樣的視覺化方式下，八面半八面體外觀為由4個無限高的六角柱構成的立體[18]。
相關多面體
編輯-
八面半八面體
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八面半八面體可透過截去皮特里立方體的所有頂點來構造，也就是說，八面半八面體可以視為截半的皮特里立方體。[20][21]
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八面半八面體
-
八面半八面體可以視為是截半立方體經過刻面後的結果[4]，而立方半八面體也可以視為是刻面的截半立方體[22]。
| 截半立方體 | 立方半八面體 | 八面半八面體 | ||
|---|---|---|---|---|
| 八面體對稱 | 四面體對稱 | 八面體對稱 | 四面體對稱 | |
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| 2 | 3 4 | 3 3 | 2 | 4/3 4 | 3 | 3/2 3 | 3 | |
 
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中心八面半八面體數
編輯中心八面半八面體數是一種排列成八面半八面體的有形數。第n個中心八面半八面體數可以表示為 [23]。由於八面半八面體數與截半立方體共用相同的頂點排列方式，因此數列前兩項與中心截半立方體數（OEIS數列A005902）相同，第三項開始少去了八面半八面體數相對於截半立方體缺少的6個四角錐[23]
前幾個中心八面半八面體數為：
參見
編輯參考文獻
編輯- ^ Wolfram, Stephen. "Octahemioctahedron". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英語）.
- ^ George W. Hart. Quasi-Regular Polyhedra. 1996 [2021-09-05]. （原始內容存檔於2021-08-30）.
- ^ Jean Paul Albert Badoureau. Mémoire sur les Figures Isocèles. Journal de l'École polytechnique. 1881, (49): 47-172.
- ^ 4.0 4.1 Weisstein, Eric W. (編). Octahemioctahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.
- ^ Hisarligil, Hakan and Hisarligil, Beyhan Bolak. The Geometry of Cuboctahedra in Medieval Art in Anatolia. Nexus Network Journal (Springer). 2018, 20 (1): 125–152.
- ^ 6.0 6.1 Uniform Polyhedra 03: Octahemioctahedron. mathconsult. [2016-08-31]. （原始內容存檔於2020-02-17）.
- ^ 7.0 7.1 7.2 Vladimir Bulatov. octahemioctacron. Polyhedra Collection, bulatov.org. [2021-07-30]. （原始內容存檔於2020-02-23）.
- ^ The Octahemioctahedron. 西密西根大學. [2016-08-31]. （原始內容存檔於2016-03-14）.
- ^ David A. Richter. The Octahemioctahedron. [2016-08-31]. （原始內容存檔於2016-03-14）.
- ^ Jean Paul Albert Badoureau, Mémoire sur les Figures Isocèles, Journal de l'École polytechnique 49 (1881), 47-172.
- ^ Versi-Regular Polyhedra: Octahemioctahedron. dmccooey.com. [2016-08-31]. （原始內容存檔於2019-10-03）.
- ^ Klitzing, Richard. octahemioctahedron, oho. bendwavy.org. [2021-09-06]. （原始內容存檔於2021-01-23）.
- ^ Gijs Korthals Altes. 作為簡單多面體的八面半八面體展開圖 (PDF). korthalsaltes.com. [2016-08-31]. （原始內容 (PDF)存檔於2016-06-15）.
- ^ Robert Webb. Octahemioctahedron. software3d.com. [2021-09-07]. （原始內容存檔於2021-07-29）.
- ^ Wenninger, M.J. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974 [2021-09-06]. ISBN 9780521098595. LCCN 69010200. （原始內容存檔於2021-08-31）.
- ^ Weisstein, Eric W. (編). Octahemioctacron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.
- ^ Weisstein, Eric W. (編). Dual Polyhedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.
- ^ 18.0 18.1 Wenninger, Magnus, Dual Models, Cambridge University Press, 2003 [1983], ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208, doi:10.1017/CBO9780511569371 (Page 101, Duals of the (nine) hemipolyhedra)
- ^ HİSARLIGİL, Hakan and HİSARLIGİL, Beyhan BOLAK. The third dimension of the Magdouh Mosaic in Antioch. Journal of Mosaic Research. 2019, (12): 107-118},.
- ^ {6,3}(2,2), Petrie dual of the cube. Regular Map database - map details. [2021-07-30].
- ^ octahemioctahedron. Regular Map database - map details. [2021-07-30]. （原始內容存檔於2021-07-25）.
- ^ Weisstein, Eric W. (編). Cubohemioctahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.
- ^ 23.0 23.1 Sloane, N.J.A. (編). Sequence A274974 (Centered octahemioctahedral numbers). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.