凹凸性 (幾何)

在幾何學中，一個幾何圖形可分為凸或凹的。例如多邊形和多面體。其中，凸的多邊形稱為凸多邊形、凹的多邊形則可稱為凹多邊形或非凸多邊形，多面體與多胞體亦然。然而在三維或更高維度的空間中，不是凸的幾何圖形不一定會是凹幾何圖形，亦可能是星形幾何圖形，因此在三維或更高維度的空間中較常分為凸與非凸。

凸幾何圖形

凸幾何圖形是指內部為凸集的幾何圖形^[1]，二維空間中的凸幾何圖形稱為凸多邊形、三維空間則稱凸多面體。若一多胞形的內部為凸集，則稱凸多胞形。

二維空間中的凸幾何圖形稱為凸多邊形，簡單多邊形的下列性質與其凸性等價：

每個內角小於180度。
任何兩個頂點間的線段位於多邊形的內部或邊界上。

凸幾何圖形的凸包與其邊界相同。

凸多邊形示例：正五邊形
凸多面體示例：正十二面體

凹幾何圖形

凹幾何圖形是指內部不是凸集的幾何圖形，在二維空間中，不是凸集的簡單多邊形，稱為凹多邊形（Concave polygon）^[2]或凹角^[3]。

凹多邊形至少存在一個內角大於180度。

在三維空間中，不是凸的幾何圖形不一定會是凹幾何圖形，亦可能是星形多面體，因此在三維空間中較常分為凸與非凸。

凹多邊形示例
凹多面體示例：凹鷂形柱
環形多面體

嚴格凸與非嚴格凸

非嚴格凸的正三角錐反角柱，其由一個正三角錐和一個三角反角柱組成，上方的三角錐側面與三角反角柱側面共面，而非嚴格小於180度。

如果一個簡單多邊形的每個內角嚴格小於180度，是嚴格凸的；如果每個非相鄰頂點間的線段除端點外嚴格位於多邊形的內部，也是嚴格凸的。

所有非退化三角形都是嚴格凸的。

星形幾何圖形

星形幾何圖形是非凸幾何圖形的一個特例，其並未有一個明確的定義。在二維空間中，稱為星形多邊形，數學家Branko Grünbaum指出了兩種由克普勒提出的定義：一種是具有自相交稜的正星形多邊形，且自相交的稜不產生新的頂點，另一種是邊可遞的簡單凹多邊形^[4]。

星形多邊形示例：五角星
星形多面體示例：大十二面體

參見

參考文獻

^ Definition and properties of convex polygons with interactive animation.. [2009-10-18]. （原始內容存檔於2017-10-17）.
^ McConnell, Jeffrey J., Computer Graphics: Theory Into Practice: 130, 2006, ISBN 0763722502 .
^ Mason, J. I., On the angles of a polygon, The Mathematical Gazette, 1935, 30 (291): 237–238 [2009-10-18], （原始內容存檔於2016-03-25） .
^ Grünbaum & Shephard 1987，section 2.5

外部連結

[1] Definition and properties of convex polygons with interactive animation.. [2009-10-18]. （原始內容存檔於2017-10-17）.

[2] McConnell, Jeffrey J., Computer Graphics: Theory Into Practice: 130, 2006, ISBN 0763722502 .

[3] Mason, J. I., On the angles of a polygon, The Mathematical Gazette, 1935, 30 (291): 237–238 [2009-10-18], （原始內容存檔於2016-03-25） .

[tilingandpatterns-4] Grünbaum & Shephard 1987，section 2.5

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