初等矩陣

線性代數中，初等矩陣（又稱為基本矩陣）是一個與單位矩陣只有微小區別的矩陣。具體來說，一個 n 階單位矩陣 E 經過一次初等行變換或一次初等列變換所得矩陣稱為 n 階初等矩陣。

操作

初等矩陣分為3種類型，分別對應着3種不同的列/行變換。

兩列（行）互換：

$R_{i}\leftrightarrow R_{j}$

把某列（行）乘以一非零常數：

$kR_{i}\rightarrow R_{i},\$其中$k\neq 0$

把第 i 列（行）加上第 j 列（行）的 k 倍：

$R_{i}+kR_{j}\rightarrow R_{i}$

初等矩陣即是將上述 3 種初等變換應用於一單位矩陣的結果。以下只討論對某列的變換。

列互換

此變換 T_{i j} 將單位矩陣的第 i 列的所有元素與第 j 列互換。

$T_{ij}={\begin{bmatrix}1&&&&&&&\\&\ddots &&&&&&\\&&0&&1&&\\&&&\ddots &&&&\\&&1&&0&&\\&&&&&&\ddots &\\&&&&&&&1\end{bmatrix}}\quad$

性質

• 逆矩陣即自身：$T_{ij}^{-1}=T_{ij}$。
• 因為單位矩陣的行列式為1，故 $\det T_{ij}=-1$。對所有階數相同的方陣 A 亦有以下性質：$\det T_{ij}A=-\det A$。

把某列乘以一非零常數

此變換 T_i(m) 將第 i 列的所有元素乘以一個非零常數 m。

$T_{i}(m)={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&m&&&\\&&&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}\quad$

性質

• 逆矩陣為 $T_{i}(m)^{-1}=T_{i}({\frac {1}{m}})$。
• 此矩陣及其逆矩陣均為對角矩陣。
• 其行列式 $\det T_{i}(m)=m$，故對所有階數相同的方陣 A 都有 $\det(T_{i}(m)A)=m\det A$。

把第 i 列加上第 j 列的 m 倍

此變換 T_{i j}(m) 將第 i 列加上第 j 列的 m 倍，其中 m 為第 i 行第 j 列的元素。

$T_{ij}(m)={\begin{bmatrix}1&&&&&&&\\&\ddots &&&&&&\\&&1&&&&&\\&&&\ddots &&&&\\&&m&&1&&\\&&&&&&\ddots &\\&&&&&&&1\end{bmatrix}}$

性質

• 逆矩陣具有性質 $T_{ij}(m)^{-1}=T_{ij}(-m)$。
• 此矩陣及其逆矩陣均為三角矩陣。
• 其行列式 $\det T_{ij}(m)=1$，故對所有階數相同的方陣 A 有 $\det(T_{ij}(m)A)=\det A$。

應用

在解線性方程組中的應用

初等行變換不影響線性方程組的解，也可用於高斯消元法，用於逐漸將係數矩陣化為標準形。初等列變換不改變矩陣的核（故不改變解集），但改變了矩陣的像。反過來，初等行變換沒有改變像卻改變了核。

用於求解一個矩陣的逆矩陣

有的時候，當矩陣的階數比較高的時候，使用其行列式的值和伴隨矩陣求解其逆矩陣會產生較大的計算量。這時，通常使用將原矩陣和相同列行數的單位矩陣並排，再使用初等變換的方法將這個並排矩陣的左邊化為單位矩陣，這時，右邊的矩陣即為原矩陣的逆矩陣。

另見

• 高斯消元法
• 線性方程組
• 矩陣

參考

• Axler, Sheldon Jay, Linear Algebra Done Right 2nd, Springer-Verlag, 1997, ISBN 0387982590 
• Lay, David C., Linear Algebra and Its Applications 3rd, Addison Wesley, August 22, 2005, ISBN 978-0321287137 
• Meyer, Carl D., Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), February 15, 2001 [2010-07-02], ISBN 978-0898714548, （原始內容存檔於2001-03-01） 
• Poole, David, Linear Algebra: A Modern Introduction 2nd, Brooks/Cole, 2006, ISBN 0-534-99845-3 
• Anton, Howard, Elementary Linear Algebra (Applications Version) 9th, Wiley International, 2005 
• Leon, Steven J., Linear Algebra With Applications 7th, Pearson Prentice Hall, 2006