單位圓
在數學中,單位圓(英語:Unit circle)是指半徑為單位長度的圓,通常為歐幾里得平面直角坐標系中圓心為、半徑為1的圓。單位圓對於三角函數和複數的坐標化表示有着重要意義。單位圓通常表示為S1。多維空間中,單位圓可推廣為單位球。
![Unit circle](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8f/Unit_circle.svg/186px-Unit_circle.svg.png)
如果單位圓上的點位於第一象限,那麼與是斜邊長度為1的直角三角形的兩條邊,根據勾股定理,與滿足方程:
由於對於所有的來說,並且所有這些點相對於x軸或者y軸的反射點也都位於單位圓上,因此單位圓上的所有點都滿足上面的方程。
單位圓與三角函數
編輯事實上,不僅僅是正弦與餘弦,而且所有六個標準三角函數—正弦(sin)、餘弦(cos)、正切(tan)、餘切(cot)、正割(sec)、餘割(csc)以及不常用的正矢(versin)和其相關函數、外正割(exsec)、外餘割(excsc)和歷史上曾存在的弦函數(crd)—都可以在單位圓表示出來。
在直角三角形中,正弦、餘弦以及其它三角函數只有當角度大於0且小於 時才有意義。但是,在單位圓上,對於任意的實數角度,這些函數都有直觀的意義。
設 是單位圓上的一個點。設角 的起始邊為x軸的正方向,角度按照逆時針方向測量。那麼角t的終邊和單位圓會有一個交點。因此:
另外,從 可以得到
從這裡還可以直觀地看出正弦函數與餘弦函數都是周期函數,對於任意的整數 有恆等式
這些恆等式的依據是在角度 增加任意圈數或者減小任意圈數的時候x與y坐標保持不變。一圈 弧度。
複數的圓群
編輯複數也可以用歐幾里得平面內的點來表示, 表示為 。在這種表示下,單位圓是不斷增加的群,在數學以及科學領域這個群有很重要的應用。