單位圓盤

數學中，繞平面上給定點 P 的開單位圓盤（open unit disk），是與 P 的距離小於 1 的點集合：

D_{1}(P)=\{Q:\vert P-Q\vert <1\}.\,

繞 P 的閉單位圓盤（closed unit disk）是與 P 的距離小於或等於 1 的點集合：

{\bar {D}}_{1}(P)=\{Q:|P-Q|\leq 1\}.\,

單位圓盤是圓盤與單位球體的特例。

若無其它修飾語，術語單位圓盤用於繞原點關於標準歐幾里得度量的開單位圓盤 $D_{1}(0)$ 。它是以原點為中心的半徑為 1 的圓周的內部。這個集合可以與所有絕對值小於 1 的複數等價。當視為複平面 C 的一個子集時，開單位圓盤經常記作 $\mathbb {D}$ 。

開單位圓盤、平面、上半平面

函數

f(z)={\frac {z}{1-|z|^{2}}}

是一個從開單位圓盤到平面的實解析雙射函數；它的逆函數也是解析的。作為實二維解析流形，從而開單位圓盤同構於整個平面。特別地，開單位圓盤同胚於整個平面。

但在開單位圓盤與整個平面之間沒有共形雙射函數。作為一個黎曼曲面，從而開單位圓盤與複平面不同。

在開單位圓盤與開上半平面之間存在共形雙射。所以作為黎曼曲面，開單位圓盤（雙全純或共形等價）同構於上半平面，兩者經常是可以互換的。

更一般地，黎曼映射定理指出複平面的每個單連通開子集若不同於複平面自己則有到開單位圓盤的一個共形雙射。

一個從開單位圓盤到開上半平面的共形雙射是莫比烏斯變換

g(z)=i{\frac {1+z}{1-z}}.

幾何上，我們可想象實軸彎曲收縮使得上半平面成為圓盤的內部而實軸成為圓盤的邊界，只在最上面留下無窮遠點。從單位圓盤到上半平面的一個共形雙射也可構造為兩個球極平面投影的複合：首先去單位球面的南極點作為投影中心，單位圓盤向上球極投影到單位上半球面；然後這個半球面投影到與該球面相切的一個豎直半平面，取投影中心為切點在球面上的對徑點。

單位圓盤與上半平面作為哈代空間不是可互換的區域。這個差別是因為單位圓周有有限（一維）勒貝格測度但實直線不是。

拓撲概念

如果考慮作為帶有標準拓撲的平面的子空間，開單位圓盤是一個開集，而閉單位圓盤是一個閉集。開或閉單位圓盤的邊界是單位圓周。

開單位圓盤與閉單位圓盤不是微分同胚的，因為後者是緊集而前者不是。但是從代數拓撲的視角來看他們有許多同樣的性質：兩者都是可縮的從而同倫等價於一個單點。這意味着他們的基本群平凡，且所有同倫群除了第零個同構於 Z 之外都是平凡的。一個點（從而對開或閉圓盤也對）的歐拉示性數等於 1。

任意從閉單位圓盤到自身的連續映射至少有一個不動點（我們甚至不要求雙射或滿射）；這是布勞威爾不動點定理 n=2 的情形。這個論斷對開單位圓盤不成立：考慮映射

f(x,y)=\left({\frac {x+{\sqrt {1-y^{2}}}}{2}},y\right),\,

它將開單位圓盤的每個點稍微向右移動。

開單位圓盤的單點緊化同胚於球面：想象開單位圓盤的邊界向上彎曲收縮，直到它成為一點；這說明開單位圓盤同胚於去掉北極點的球面；添上那點成為（緊）球面。

雙曲空間

通過開單位圓盤上引入一個新度量（龐加萊度量），開單位圓盤常常作為雙曲平面的一個模型。利用如上提到的開單位圓盤與上半平面的共形映射，這個模型可轉換成雙曲平面的龐加萊半平面模型。龐加萊圓盤與龐加萊半平面都是雙曲空間的共形模型，即模型中的角度與雙曲空間中的角度相同，從而保持了小圖形的形狀（但不保持尺寸）。

雙曲平面的另一個模型也是構造在開單位圓盤上：克萊因模型。它不是共形的，但這個模型中的直線對應於雙曲空間中的直線。

關於其它度量的單位圓盤

數學中也考慮關於其它度量的單位圓盤。例如關於出租車度量與切比雪夫距離的圓盤看起來像正方形（但它們的拓撲與歐幾里得情形是一樣的）。

歐幾里得圓盤的面積是 π而周長是 2π。與之相比地是，出租車幾何中單位圓盤的周長（相對於出租車度量）是 8。1932年，Stanisław Gołąb（英語：Stanisław Gołąb）證明了在由一個範數給出的度量中，單位圓盤的周長可取 6 與 8 之間的任何值，且得到極值當且僅當單位圓盤分別是正六邊形與平行四邊形。

參考文獻

S. Golab, "Quelques problèmes métriques de la géometrie de Minkowski", Trav. de l'Acad. Mines Cracovie 6 (1932), 179.

外部連結

埃里克·韋斯坦因. Unit disk. MathWorld.
On the Perimeter and Area of the Unit Disc, by J.C. Álvarez Pavia and A.C. Thompson