反推控制(backstepping)也稱為反演控制反步法,是一種控制理論的技術,在約1990年時由Petar V. Kokotovic英語Petar V. Kokotovic等人提出[1][2],針對特殊形式的非線性動力系統設計可以穩定系統的控制器。此一系統是由許多子系統一層一層組成,最內層的子系統不可再簡化,可以由其他方式穩定最內層的系統。由於此系統的遞歸結構,設計者可以以最內層可穩定的系統為啟始點,反推新的控制器來穩定較外層的子系統,此程序會一直進行到處理到最外層的外部控制命令為止。因此此方式稱為是「反推控制」[3]

反推控制的設計方式

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反推控制的設計方式可以針對嚴格回授型式英語strict-feedback form的系統,提供一種遞歸方式使其在原點可以穩定。考慮以下型式的動力系統[3]

 

其中

  •  ,其中 
  •  純量
  • u是系統的純量輸入
  •  原點數值為零(也就是說 
  •  是在關注區域內不為零(也就是 ,在 的情形下)

另外假設系統

 

在原點處有李雅普諾夫穩定性,可以用某種已知的控制方式 使得 。並且假設針對此穩定子系統,可以其李亞普諾夫函數  。因此x子系統可以由其他方式穩定,利用反推控制可以將其穩定性延展到在外圍的 

x的穩定子系統外圍的嚴格回授型式系統

  • 反推控制的控制輸入u對狀態 有最直接的穩定性效果。
  • 狀態 的作用是在狀態 之前的穩定性控制。
  • 此程序會繼續,使每一個狀態 會都會被虛擬的控制信號 所穩定。

反推控制會確認用 要穩定x子系統的方式,接著再由下一個狀態 來驅動狀態 ,使其產生可以穩定x的信號。因此此程序是從x的嚴格回授型式反推往外,一直到設計到最終的控制信號u

遞歸控制設計概述

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遞歸控制的作法如下

  1. 假設較小(低階)的子系統
     
    已經可以用一些控制方式 穩定,此控制方式會符合 的條件。意思是說,穩定此系統的 ,是用其他控制方式達成的。也假設已知此一穩定系統的李亞普諾夫函數  。反推控制可以將這個子系統的穩定性拓展到較大的系統。
  2. 會設計控制信號 ,使得系統
     
    穩定,讓 依照想要的 控制方式進行。此控制器是依照擴充李亞普諾夫候選函數(augmented Lyapunov function candidate)來設計
     
    此控制信號 可以適當選擇,使 可以遠離0
  3. 會設計控制信號 ,使得系統
     
    穩定,讓 依照想要的 控制方式進行。此控制器是依照擴充李亞普諾夫候選函數來設計
     
    此控制信號  可以適當選擇,使 可以遠離0
  4. 會反覆此一程序,一直到其實際u已知為止,而且
    • 真實控制信號u會使 接近虛擬控制信號 的控制得以穩定。
    • 虛擬控制信號 會使 接近虛擬控制信號 的控制得以穩定。
    • 虛擬控制信號 會使 接近虛擬控制信號 的控制得以穩定。
    • ...
    • 虛擬控制信號 會使 接近虛擬控制信號 的控制得以穩定。
    • 虛擬控制信號 會使 接近虛擬控制信號 的控制得以穩定。
    • 虛擬控制信號 會使x穩定在原點。

此程序稱為反推(backstepping),因為是從內部穩定的子系統開始,漸漸反推到較外圍的系統,同時維持每一步的穩定性。因

  •   時為0
  •   不為0
  • 給定控制信號 會滿足 ,

因此所得的系統在原點( ,  ,  , ...,   )處穩定,是全域漸進穩定

相關條目

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參考資料

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  1. ^ Kokotovic, P.V. The joy of feedback: nonlinear and adaptive. IEEE Control Systems Magazine. 1992, 12 (3): 7–17. doi:10.1109/37.165507. 
  2. ^ Lozano, R.; Brogliato, B. Adaptive control of robot manipulators with flexible joints. IEEE Transactions on Automatic Control. 1992, 37 (2): 174–181. doi:10.1109/9.121619. 
  3. ^ 3.0 3.1 Khalil, H.K. Nonlinear Systems 3rd. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. 2002 [2020-02-26]. ISBN 978-0-13-067389-3. (原始內容存檔於2017-07-25).