反推控制(backstepping)也称为反演控制反步法,是一种控制理论的技术,在约1990年时由Petar V. Kokotovic英语Petar V. Kokotovic等人提出[1][2],针对特殊形式的非线性动力系统设计可以稳定系统的控制器。此一系统是由许多子系统一层一层组成,最内层的子系统不可再简化,可以由其他方式稳定最内层的系统。由于此系统的递归结构,设计者可以以最内层可稳定的系统为启始点,反推新的控制器来稳定较外层的子系统,此程序会一直进行到处理到最外层的外部控制命令为止。因此此方式称为是“反推控制”[3]

反推控制的设计方式

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反推控制的设计方式可以针对严格回授型式英语strict-feedback form的系统,提供一种递归方式使其在原点可以稳定。考虑以下型式的动力系统[3]

 

其中

  •  ,其中 
  •  标量
  • u是系统的标量输入
  •  原点数值为零(也就是说 
  •  是在关注区域内不为零(也就是 ,在 的情形下)

另外假设系统

 

在原点处有李雅普诺夫稳定性,可以用某种已知的控制方式 使得 。并且假设针对此稳定子系统,可以其李亚普诺夫函数  。因此x子系统可以由其他方式稳定,利用反推控制可以将其稳定性延展到在外围的 

x的稳定子系统外围的严格回授型式系统

  • 反推控制的控制输入u对状态 有最直接的稳定性效果。
  • 状态 的作用是在状态 之前的稳定性控制。
  • 此程序会继续,使每一个状态 会都会被虚拟的控制信号 所稳定。

反推控制会确认用 要稳定x子系统的方式,接着再由下一个状态 来驱动状态 ,使其产生可以稳定x的信号。因此此程序是从x的严格回授型式反推往外,一直到设计到最终的控制信号u

递归控制设计概述

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递归控制的作法如下

  1. 假设较小(低阶)的子系统
     
    已经可以用一些控制方式 稳定,此控制方式会符合 的条件。意思是说,稳定此系统的 ,是用其他控制方式达成的。也假设已知此一稳定系统的李亚普诺夫函数  。反推控制可以将这个子系统的稳定性拓展到较大的系统。
  2. 会设计控制信号 ,使得系统
     
    稳定,让 依照想要的 控制方式进行。此控制器是依照扩充李亚普诺夫候选函数(augmented Lyapunov function candidate)来设计
     
    此控制信号 可以适当选择,使 可以远离0
  3. 会设计控制信号 ,使得系统
     
    稳定,让 依照想要的 控制方式进行。此控制器是依照扩充李亚普诺夫候选函数来设计
     
    此控制信号  可以适当选择,使 可以远离0
  4. 会反复此一程序,一直到其实际u已知为止,而且
    • 真实控制信号u会使 接近虚拟控制信号 的控制得以稳定。
    • 虚拟控制信号 会使 接近虚拟控制信号 的控制得以稳定。
    • 虚拟控制信号 会使 接近虚拟控制信号 的控制得以稳定。
    • ...
    • 虚拟控制信号 会使 接近虚拟控制信号 的控制得以稳定。
    • 虚拟控制信号 会使 接近虚拟控制信号 的控制得以稳定。
    • 虚拟控制信号 会使x稳定在原点。

此程序称为反推(backstepping),因为是从内部稳定的子系统开始,渐渐反推到较外围的系统,同时维持每一步的稳定性。因

  •   时为0
  •   不为0
  • 给定控制信号 会满足 ,

因此所得的系统在原点( ,  ,  , ...,   )处稳定,是全域渐进稳定

相关条目

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参考资料

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  1. ^ Kokotovic, P.V. The joy of feedback: nonlinear and adaptive. IEEE Control Systems Magazine. 1992, 12 (3): 7–17. doi:10.1109/37.165507. 
  2. ^ Lozano, R.; Brogliato, B. Adaptive control of robot manipulators with flexible joints. IEEE Transactions on Automatic Control. 1992, 37 (2): 174–181. doi:10.1109/9.121619. 
  3. ^ 3.0 3.1 Khalil, H.K. Nonlinear Systems 3rd. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. 2002 [2020-02-26]. ISBN 978-0-13-067389-3. (原始内容存档于2017-07-25).