反推控制 （backstepping）也稱為反演控制 或反步法 ，是一種控制理論 的技術，在約1990年時由Petar V. Kokotovic [ 1] [ 2] 非線性 動力系統 設計可以穩定系統 的控制器。此一系統是由許多子系統一層一層組成，最內層的子系統不可再簡化，可以由其他方式穩定最內層的系統。由於此系統的遞歸 結構，設計者可以以最內層可穩定的系統為啟始點，反推新的控制器來穩定較外層的子系統，此程序會一直進行到處理到最外層的外部控制命令為止。因此此方式稱為是「反推控制」[ 3] 。
反推控制的設計方式可以針對嚴格回授型式 遞歸 方式使其在原點 可以穩定 。考慮以下型式的動力系統 [ 3]
{
x
˙
=
f
x
(
x
)
+
g
x
(
x
)
z
1
z
˙
1
=
f
1
(
x
,
z
1
)
+
g
1
(
x
,
z
1
)
z
2
z
˙
2
=
f
2
(
x
,
z
1
,
z
2
)
+
g
2
(
x
,
z
1
,
z
2
)
z
3
⋮
z
˙
i
=
f
i
(
x
,
z
1
,
z
2
,
…
,
z
i
−
1
,
z
i
)
+
g
i
(
x
,
z
1
,
z
2
,
…
,
z
i
−
1
,
z
i
)
z
i
+
1
for
1
≤
i
<
k
−
1
⋮
z
˙
k
−
1
=
f
k
−
1
(
x
,
z
1
,
z
2
,
…
,
z
k
−
1
)
+
g
k
−
1
(
x
,
z
1
,
z
2
,
…
,
z
k
−
1
)
z
k
z
˙
k
=
f
k
(
x
,
z
1
,
z
2
,
…
,
z
k
−
1
,
z
k
)
+
g
k
(
x
,
z
1
,
z
2
,
…
,
z
k
−
1
,
z
k
)
u
{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}&=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}\\{\dot {z}}_{1}&=f_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})+g_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})z_{2}\\{\dot {z}}_{2}&=f_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})+g_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})z_{3}\\\vdots \\{\dot {z}}_{i}&=f_{i}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{i-1},z_{i})+g_{i}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{i-1},z_{i})z_{i+1}\quad {\text{ for }}1\leq i<k-1\\\vdots \\{\dot {z}}_{k-1}&=f_{k-1}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k-1})+g_{k-1}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k-1})z_{k}\\{\dot {z}}_{k}&=f_{k}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k-1},z_{k})+g_{k}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\dots ,z_{k-1},z_{k})u\end{cases}}\end{aligned}}}
其中
x
∈
R
n
{\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}
n
≥
1
{\displaystyle n\geq 1}
z
1
,
z
2
,
…
,
z
i
,
…
,
z
k
−
1
,
z
k
{\displaystyle z_{1},z_{2},\ldots ,z_{i},\ldots ,z_{k-1},z_{k}}
純量 。u
f
x
,
f
1
,
f
2
,
…
,
f
i
,
…
,
f
k
−
1
,
f
k
{\displaystyle f_{x},f_{1},f_{2},\ldots ,f_{i},\ldots ,f_{k-1},f_{k}}
原點 處數值為零 （也就是說
f
i
(
0
,
0
,
…
,
0
)
=
0
{\displaystyle f_{i}(0,0,\dots ,0)=0}
g
1
,
g
2
,
…
,
g
i
,
…
,
g
k
−
1
,
g
k
{\displaystyle g_{1},g_{2},\ldots ,g_{i},\ldots ,g_{k-1},g_{k}}
g
i
(
x
,
z
1
,
…
,
z
k
)
≠
0
{\displaystyle g_{i}(\mathbf {x} ,z_{1},\ldots ,z_{k})\neq 0}
1
≤
i
≤
k
{\displaystyle 1\leq i\leq k}
另外假設系統
x
˙
=
f
x
(
x
)
+
g
x
(
x
)
u
x
(
x
)
{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} )}
在原點處有李雅普諾夫穩定性 ，可以用某種已知的控制方式
u
x
(
x
)
{\displaystyle u_{x}(\mathbf {x} )}
u
x
(
0
)
=
0
{\displaystyle u_{x}(\mathbf {0} )=0}
李亞普諾夫函數
V
x
{\displaystyle V_{x}}
x
z
{\displaystyle {\textbf {z}}}
在x
反推控制的控制輸入u
z
n
{\displaystyle z_{n}}
狀態
z
n
{\displaystyle z_{n}}
z
n
−
1
{\displaystyle z_{n-1}}
此程序會繼續，使每一個狀態
z
i
{\displaystyle z_{i}}
z
i
+
1
{\displaystyle z_{i+1}}
反推控制會確認用
z
1
{\displaystyle z_{1}}
x
z
2
{\displaystyle z_{2}}
z
1
{\displaystyle z_{1}}
x x u
遞歸控制的作法如下
假設較小（低階）的子系統
x
˙
=
f
x
(
x
)
+
g
x
(
x
)
u
x
(
x
)
{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} )}
已經可以用一些控制方式
u
x
(
x
)
{\displaystyle u_{x}(\mathbf {x} )}
u
x
(
0
)
=
0
{\displaystyle u_{x}(\mathbf {0} )=0}
u
x
{\displaystyle u_{x}}
李亞普諾夫函數
V
x
{\displaystyle V_{x}}
會設計控制信號
u
1
(
x
,
z
1
)
{\displaystyle u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})}
z
˙
1
=
f
1
(
x
,
z
1
)
+
g
1
(
x
,
z
1
)
u
1
(
x
,
z
1
)
{\displaystyle {\dot {z}}_{1}=f_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})+g_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})}
穩定，讓
z
1
{\displaystyle z_{1}}
u
x
{\displaystyle u_{x}}
V
1
(
x
,
z
1
)
=
V
x
(
x
)
+
1
2
(
z
1
−
u
x
(
x
)
)
2
{\displaystyle V_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})=V_{x}(\mathbf {x} )+{\frac {1}{2}}(z_{1}-u_{x}(\mathbf {x} ))^{2}}
此控制信號
u
1
{\displaystyle u_{1}}
V
˙
1
{\displaystyle {\dot {V}}_{1}}
會設計控制信號
u
2
(
x
,
z
1
,
z
2
)
{\displaystyle u_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})}
z
˙
2
=
f
2
(
x
,
z
1
,
z
2
)
+
g
2
(
x
,
z
1
,
z
2
)
u
2
(
x
,
z
1
,
z
2
)
{\displaystyle {\dot {z}}_{2}=f_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})+g_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})u_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})}
穩定，讓
z
2
{\displaystyle z_{2}}
u
1
{\displaystyle u_{1}}
V
2
(
x
,
z
1
,
z
2
)
=
V
1
(
x
,
z
1
)
+
1
2
(
z
2
−
u
1
(
x
,
z
1
)
)
2
{\displaystyle V_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})=V_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})+{\frac {1}{2}}(z_{2}-u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1}))^{2}}
此控制信號
u
2
{\displaystyle u_{2}}
V
˙
2
{\displaystyle {\dot {V}}_{2}}
會反覆此一程序，一直到其實際u 真實控制信號u
z
k
{\displaystyle z_{k}}
u
k
−
1
{\displaystyle u_{k-1}}
虛擬控制信號
u
k
−
1
{\displaystyle u_{k-1}}
z
k
−
1
{\displaystyle z_{k-1}}
u
k
−
2
{\displaystyle u_{k-2}}
虛擬控制信號
u
k
−
2
{\displaystyle u_{k-2}}
z
k
−
2
{\displaystyle z_{k-2}}
u
k
−
3
{\displaystyle u_{k-3}}
...
虛擬控制信號
u
2
{\displaystyle u_{2}}
z
2
{\displaystyle z_{2}}
u
1
{\displaystyle u_{1}}
虛擬控制信號
u
1
{\displaystyle u_{1}}
z
1
{\displaystyle z_{1}}
u
x
{\displaystyle u_{x}}
虛擬控制信號
u
x
{\displaystyle u_{x}}
x 此程序稱為反推（backstepping），因為是從內部穩定的子系統開始，漸漸反推到較外圍的系統，同時維持每一步的穩定性。因
f
i
{\displaystyle f_{i}}
0
≤
i
≤
k
{\displaystyle 0\leq i\leq k}
g
i
{\displaystyle g_{i}}
1
≤
i
≤
k
{\displaystyle 1\leq i\leq k}
給定控制信號
u
x
{\displaystyle u_{x}}
u
x
(
0
)
=
0
{\displaystyle u_{x}(\mathbf {0} )=0}
因此所得的系統在原點（
x
=
0
{\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,}
z
1
=
0
{\displaystyle z_{1}=0}
z
2
=
0
{\displaystyle z_{2}=0}
z
k
−
1
=
0
{\displaystyle z_{k-1}=0}
z
k
=
0
{\displaystyle z_{k}=0}
全域漸進穩定 。
