單位元
集合中的特定元素,在以二元运算与其他元素结合时不改变其他元素
單位元(unit element[1])也稱恆等元(identity element)、中立元(neutral element)、恆元,是集合裏的一種特殊元素,與該集合裏的二元運算有關。單位元和其他元素結合時,並不會改變那些元素。單位元在群和其他相關概念中都有使用。
設為一帶有一二元運算的集合(稱為原群)。若內有一元素對S內所有元素a滿足,則被稱為左單位元;若滿足,則稱為右單位元。而若同時為左單位元及右單位元,則稱為雙邊單位元,又簡稱為單位元。
對應加法的單位元稱為加法單位元(通常被標為0),而對應乘法的單位元則稱為乘法單位元(通常被標為1)。這一區分大多被用在有兩個二元運算的集合上,比如環。
例子
編輯集合 運算 單位元 實數 +(加法) 0 實數 ·(乘法) 1 實數 (乘方) 1(只為右單位元) 複數 +(加法) 0 複數 ·(乘法) 1 矩陣 +(加法) 零矩陣 方陣 ·(乘法) 單位矩陣 所有從集合M映射至其自身的函數 (函數複合) 單位函數 所有從集合M映射至其自身的函數 (摺積) (狄拉克δ函數) 字串 串接 空字元串 擴展的實數軸 最大值 擴展的實數軸 最小值 集合M的子集 (交集) M 集合 (聯集) (空集) 布爾邏輯 (邏輯與) ⊤(真值) 布爾邏輯 (邏輯或) ⊥(假值) 閉二維流形 #(連通和) 只兩個元素 * 定義為
且
和 都是左單位元,但不存在右單位元和雙邊單位元
如最後一個例子所示,有多個左單位元是可能的,且事實上,每一個元素都可以是左單位元。同樣地,右單位元也一樣。但若同時存在有右單位元和左單位元,則它們會相同,且僅存在一個雙邊單位元。要證明這個,設 為左單位元且 為右單位元,則 。特別的,不存在兩個以上的單位元。若有兩個單位元 和 ,則 必同時等於 和 。
一個代數也可能沒有單位元。最常見的例子為向量的內積和外積。前者缺乏單位元的原因在於,相乘的兩個元素都會是向量,但乘積卻會是個純量。而外積缺乏單位元的原因則在於,任一非零外積的方向必和相乘的兩個向量相正交,因此不可能得出一個和原向量指向同方向的外積向量。