對合矩陣

在數學上， 對合矩陣是指逆為自身的矩陣，即，稱矩陣$\mathbf {A}$是一個對合矩陣當且僅當$\mathbf {A} ^{2}=\mathbf {I}$。對合矩陣是單位矩陣的方根。 

例

如果$a^{2}+bc=1$，則2×2實矩陣 ${\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}}$  是對合矩陣。

三類基本矩陣中有一種是對合矩陣，即行交換的基本矩陣。 在特殊情況下，另一類的基本矩陣，即表示對行或列乘以 −1 的矩陣也是對合矩陣；實際上這是符號矩陣的一個特例——所有符號矩陣均是對合的。

下面是一些對合矩陣的簡單例子。

${\begin{array}{cc}\mathbf {I} ={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}};&\mathbf {I} ^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\\\\mathbf {R} ={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}};&\mathbf {R} ^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}\\\\\mathbf {S} ={\begin{pmatrix}+1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}};&\mathbf {S} ^{-1}={\begin{pmatrix}+1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}\\\end{array}}$

這裡

$\mathbf {I}$ 是單位矩陣 (顯然對合);

$\mathbf {R}$ 是交換過一對行的單位矩陣；

$\mathbf {S}$ 是符號矩陣。

顯然，任何由對稱矩陣構成的塊-對角陣 構成的矩陣也是對合矩陣。

對稱性

一個對稱的對合矩陣也是一個正交矩陣，並因此表示一個保距變換 (保持歐幾里德距離的線性變換)。反之，每個正交對合矩陣均是對稱的。 一個特別的例子是，每個反射矩陣均是對合的。

性質

任何域上對合矩陣的行列式是±1.

如果 $\mathbf {A}$ 是一個 n × n 矩陣，則A是對合的當且僅當½(A + I)是 冪等的。 這一關係給出了對合矩陣和冪等矩陣之間的雙射。

如果 $\mathbf {A}$ 是$M(n,\mathbb {R} )$（實數域上的矩陣代數）上的矩陣，則由 $\mathbf {A}$ 產生的子代數 {x I + y A: x、y ∈ℝ} 與雙曲複數同構。

如果 $\mathbf {A}$和 $\mathbf {B}$ 兩個對合矩陣可交換，則 $\mathbf {AB}$ 也是對合的。

如果 $\mathbf {A}$ 是對合矩陣則 A 的任意自然數次冪均是對合的。 事實上， $\mathbf {A} ^{n}$ 在 $n$ 是奇數時等於 $\mathbf {A}$，在 $n$ 是偶數時等於 $\mathbf {I}$。

另見

• 仿射對合