對合矩陣

逆为自身的矩阵

數學上, 對合矩陣是指逆為自身的矩陣,即,稱矩陣是一個對合矩陣若且唯若。對合矩陣是單位矩陣方根。 [1]

如果 ,則2×2實矩陣    是對合矩陣。[2]

三類基本矩陣中有一種是對合矩陣,即行交換的基本矩陣。 在特殊情況下,另一類的基本矩陣,即表示對行或列乘以 −1 的矩陣也是對合矩陣;實際上這是符號矩陣的一個特例——所有符號矩陣均是對合的。

下面是一些對合矩陣的簡單例子。

 

這裏

  是單位矩陣 (顯然對合);
  是交換過一對行的單位矩陣;
 符號矩陣

顯然,任何由對稱矩陣構成的塊-對角陣 構成的矩陣也是對合矩陣。

對稱性

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一個對稱的對合矩陣也是一個正交矩陣,並因此表示一個保距變換 (保持歐幾里德距離的線性變換)。反之,每個正交對合矩陣均是對稱的。[3] 一個特別的例子是,每個反射矩陣均是對合的。

性質

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任何域上對合矩陣的行列式是±1.[4]

如果   是一n × n 矩陣,則A是對合的若且唯若½(A + I)是 冪等的。 這一關係給出了對合矩陣和冪等矩陣之間的雙射

如果   實數域上的矩陣代數)上的矩陣,則由   產生的子代數 {x I + y A: x、y ∈ℝ} 與雙曲複數同構。

如果    兩個對合矩陣可交換,則   也是對合的。

如果   是對合矩陣則 A 的任意自然數次冪均是對合的。 事實上,   在   是奇數時等於  ,在   是偶數時等於  

另見

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  • 仿射對合

參考文獻

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  1. ^ Higham, Nicholas J., 6.11 Involutory Matrices, Functions of Matrices: Theory and Computation, Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM): 165–166, 2008 [2017-11-29], ISBN 978-0-89871-646-7, MR 2396439, doi:10.1137/1.9780898717778, (原始內容存檔於2020-07-15) .
  2. ^ Peter Lancaster & Miron Tismenetsky (1985) The Theory of Matrices, 2nd edition, pp 12,13 Academic Press ISBN 0-12-435560-9
  3. ^ Govaerts, Willy J. F., Numerical methods for bifurcations of dynamical equilibria, Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM): 292, 2000 [2017-11-29], ISBN 0-89871-442-7, MR 1736704, doi:10.1137/1.9780898719543, (原始內容存檔於2020-08-02) ; ; .
  4. ^ Bernstein, Dennis S., 3.15 Facts on Involutory Matrices, Matrix Mathematics 2nd, Princeton, NJ: Princeton University Press: 230–231, 2009 [2017-11-29], ISBN 978-0-691-14039-1, MR 2513751, (原始內容存檔於2020-07-14) .