懸鏈線

常用曲线

懸鏈線(Catenary)是一種常用曲線,物理上用於描繪質量均勻分佈而不可延伸的長鏈懸掛在兩支點間,因均勻引力作用下而形成向下彎曲之曲線,因此而得名。

不同的懸鏈線
鐵鏈形式的懸鏈線。
蜘蛛絲形成多個(近似的)懸鏈線。

雖然彎曲的形狀看似二次方的拋物線,但是1638年在伽利略的《Two New Sciences》中證明因為繩子的張力會隨著吊掛重量的不同,在底端為最小、愈高的地方愈大,如此一來,它所形成的形狀就不是拋物線。

隨後在1670年胡克根據力學推導出懸鏈線的數學特性。1691年萊布尼茲惠更斯約翰·白努利近一步推導出數學模型。

它的公式為:

或者簡單地表示為

其中cosh是雙曲餘弦函數, 是一個由繩子本身性質和懸掛方式決定的常數軸為其準線。具體來說,,其中是重力加速度,是線密度(假設繩子密度均勻),而是繩子上每一點處張力的水平分量,它取決於繩子的懸掛方式;若繩子兩端在同一水平面上,則下面的方程決定了

其中L是繩子總長的一半,d是端點距離的一半。

方程的推導

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表達式的證明

如右圖,設最低點 處受水平向左的拉力 ,右懸掛點處表示為 點,在 弧線區段任意取一段設為 點,則 受一個斜向上的拉力 ,設 和水平方向夾角為 ,繩子的質量為 ,受力分析有:

 

 

 

 , 其中 是右段 繩子的長度, 是繩子線重量密度, 為切線方向,記 , 代入得微分方程 ;

利用弧長公式 ;

所以 ;

再把 代入微分方程得 

對於  微分處理

 

其中 ;

對(2)分離常量求積分

 

 ,即 

其中 反雙曲函數;

 時, 

帶入得 

整理得 

工程中的應用

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懸索橋雙曲拱橋架空電纜都用到懸鏈線的原理。 在工程中有一種應用, 稱作懸鏈係數。如果我們改變公式的寫法,會給工程應用帶來很大幫助,公式及圖像如下:

 

還有以下幾個公式,可能也有用:

 
 
 

其中 是曲線中某點到0點的鏈索長度, 是該點的正切角, 是0點處的水平張力, 是鏈索的單位重量。利用上述公式即能計算出任意點的張力。

參考資料

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外部連結

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