懸鏈線
懸鏈線(Catenary)是一種常用曲線,物理上用於描繪質量均勻分佈而不可延伸的長鏈懸掛在兩支點間,因均勻引力作用下而形成向下彎曲之曲線,因此而得名。
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Mc_Catenary.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fb/SpiderCatenary.jpg/180px-SpiderCatenary.jpg)
雖然彎曲的形狀看似二次方的拋物線,但是1638年在伽利略的《Two New Sciences》中證明因為繩子的張力會隨着吊掛重量的不同,在底端為最小、愈高的地方愈大,如此一來,它所形成的形狀就不是拋物線。
隨後在1670年胡克根據力學推導出懸鏈線的數學特性。1691年萊布尼茲、惠更斯、約翰·白努利近一步推導出數學模型。
它的公式為:
- 或者簡單地表示為
其中cosh是雙曲餘弦函數, 是一個由繩子本身性質和懸掛方式決定的常數,軸為其準線。具體來說,,其中是重力加速度,是線密度(假設繩子密度均勻),而是繩子上每一點處張力的水平分量,它取決於繩子的懸掛方式;若繩子兩端在同一水平面上,則下面的方程決定了
其中L是繩子總長的一半,d是端點距離的一半。
方程的推導
編輯表達式的證明
如右圖,設最低點 處受水平向左的拉力 ,右懸掛點處表示為 點,在 弧線區段任意取一段設為 點,則 受一個斜向上的拉力 ,設 和水平方向夾角為 ,繩子的質量為 ,受力分析有:
;
,
,
, 其中 是右段 繩子的長度, 是繩子線重量密度, 為切線方向,記 , 代入得微分方程 ;
利用弧長公式 ;
所以 ;
再把 代入微分方程得
對於 設 微分處理
得
其中 ;
對(2)分離常量求積分
得 ,即
其中 為反雙曲函數;
當 時, ;
帶入得 ;
整理得
工程中的應用
編輯懸索橋、雙曲拱橋、架空電纜都用到懸鏈線的原理。 在工程中有一種應用, 稱作懸鏈係數。如果我們改變公式的寫法,會給工程應用帶來很大幫助,公式及圖像如下:
還有以下幾個公式,可能也有用:
其中 是曲線中某點到0點的鏈索長度, 是該點的正切角, 是0點處的水平張力, 是鏈索的單位重量。利用上述公式即能計算出任意點的張力。