截角七階三角形鑲嵌
在幾何學中,截角七階三角形鑲嵌(英語:Triheptagonal tiling)是一種僅能被構造在雙曲面上的正多邊形鑲嵌,是半正鑲嵌的一種,由正七邊形與正六邊形拼合,並且將正七邊形與正六邊形重複排列組合,並讓圖形完全拼合,而且沒有空隙或重疊的幾何構造。每個頂點皆由兩個正六邊形與一個正七邊形構成,在施萊夫利符號中用t{3,7}表示;此外由於結構類似於足球(僅差在足球的正五邊形改成正七邊形),因此又被稱為雙曲足球(英語:hyperbolic soccerball)[1]。足球是截角二十面體,可以視為五階三角形鑲嵌經截角變換後的像,與截角七階三角形鑲嵌非常類似,但截角二十面體是球面鑲嵌,截角七階三角形鑲嵌是雙曲面鑲嵌。
![]() 龐加萊圓盤模型 | ||
類別 | 雙曲半正鑲嵌 | |
---|---|---|
對偶多面體 | 七角化七邊形鑲嵌 | |
識別 | ||
鮑爾斯縮寫 | thetrat![]() | |
數學表示法 | ||
考克斯特符號 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
施萊夫利符號 | t{3,7} 2t{7,3} | |
威佐夫符號 | 2 7 | 3 | |
組成與佈局 | ||
頂點圖 | 7.6.6 | |
對稱性 | ||
對稱群 | [7,3], (*732) | |
圖像 | ||
| ||
雙曲足球
編輯這個鑲嵌因為形狀類似截角二十面體即俗稱的足球,因此又被稱為雙曲足球(英語:hyperbolic soccerball)。它可以作為在三維空間構造雙曲面的一種方式。
截角二十面體足球的 多面體和球結構 |
六邊形鑲嵌 著色成 截角三角形鑲嵌 |
一個雙曲足球 |
對偶鑲嵌
編輯截角七階三角形鑲嵌的對偶為七角化七邊形鑲嵌, 其為三階七邊形鑲嵌的每一個七邊形從中心點分割為七個三角形。
相關多面體及鑲嵌
編輯此雙曲線鑲嵌的拓撲結構與一系列頂點圖為(n.6.6)且對稱群為[n,3]考克斯特群的半正截角多面體或鑲嵌相關:
對稱群 *n42 [n,3] |
球面 | 歐氏鑲嵌 | 緊湊型雙曲鑲嵌 | 仿緊型鑲嵌 | 非緊型鑲嵌 | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
*232 [2,3] D3h |
*332 [3,3] Td |
*432 [4,3] Oh |
*532 [5,3] Ih |
*632 [6,3] P6m |
*732 [7,3] |
*832 [8,3]... |
*∞32 [∞,3] |
[iπ/λ,3] | |
階 | 12 | 24 | 48 | 120 | ∞ | ||||
截角 頂點 |
2.6.6 |
3.6.6 |
4.6.6 |
5.6.6 |
2.6.6 |
7.6.6 |
8.6.6 |
∞.6.6 |
∞.6.6 |
考克斯特紀號 施萊夫利符號 |
t{3,2} |
t{3,3} |
t{3,4} |
t{3,5} |
t{3,6} |
t{3,7} |
t{3,8} |
t{3,∞} |
t{3,iπ/λ} |
半正對偶頂點 | |||||||||
n角化 頂點 |
V2.6.6 |
V3.6.6 |
V4.6.6 |
V5.6.6 |
V6.6.6 |
V7.6.6 |
V8.6.6 |
V∞.6.6 |
V∞.6.6 |
考克斯特紀號 |
從威佐夫結構中可得到8種不同的半正鑲嵌
對稱群:[7,3], (*732) | [7,3]+, (732) | |||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
{7,3} | t{7,3} | r{7,3} | 2t{7,3}=t{3,7} | 2r{7,3}={3,7} | rr{7,3} | tr{7,3} | sr{7,3} | |||
半正對偶 | ||||||||||
V73 | V3.14.14 | V3.7.3.7 | V6.6.7 | V37 | V3.4.7.4 | V4.6.14 | V3.3.3.3.7 |
參見
編輯參考文獻
編輯- ^ HOW TO BUILD YOUR OWN HYPERBOLIC SOCCER BALL MODEL (PDF). [2014-05-27]. (原始內容存檔 (PDF)於2020-12-08).
- John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 19, The Hyperbolic Archimedean Tessellations)
- Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space. The Beauty of Geometry: Twelve Essays. Dover Publications. 1999. ISBN 0-486-40919-8. LCCN 99035678.
- 埃里克·韋斯坦因. Hyperbolic tiling. MathWorld.
- 埃里克·韋斯坦因. Poincaré hyperbolic disk. MathWorld.
- Hyperbolic and Spherical Tiling Gallery (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)
- KaleidoTile 3: Educational software to create spherical, planar and hyperbolic tilings (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)
- Hyperbolic Planar Tessellations, Don Hatch