數學構成主義

在數學哲學中，構成主義或構造主義認為要證明一個數學對象存在就必須把它構造出來。如果假設一個對象不存在，並從該假設推導出一個矛盾，對於構成主義者來說，不足以證明該對象存在。（構造性證明）

構成主義常常和直覺主義混淆，實際上，直覺主義只是構成主義的一種。直覺主義強調數學的基礎建立在數學家們個人的直覺上，這樣就把數學在本質上作為一種主觀活動。構成主義不這樣強調，並和對數學的客觀看法保持一致。

構造主義數學

構造主義者的數學使用構造性邏輯，該邏輯將真實性和證明等同起來。要構造性的證明$P\lor Q$，我們必須證明$P$或$Q$，或兩者同時成立。要構造式的證明$\exists _{x\in X}P(x)$，我們必須給出一個特定的$a\in X$和一個$P(a)$的證明。要構造式的證明$\forall _{x\in X}P(x)$，我們必須給出一個算法，它對於每個$a\in X$輸出一個$P(a)$的證明。

構造主義同時拒絕採用無窮對象，例如無窮集合和序列。

實分析中的例子

在經典實分析中，實數構造的方法之一是把它作為有理數的柯西列對。這個構造在構造主義數學中不成立，因為序列是無窮的。

作為替換，我們把實數表示為一個算法$f$，它取一個正整數$n$然後輸出一對有理數$(f_{\ell }(n),f_{r}(n))$使得

$m\leq n\implies f_{\ell }(m)\leq f_{\ell }(n)$

$m\leq n\implies f_{r}(n)\leq f_{r}(m)$

$0\leq f_{r}(n)-f_{\ell }(n)\leq {1 \over n}$

使得當$n$增大，區間$[f_{\ell }(n),f_{r}(n)]$變小，而前$n$個這種區間的交不空。我們使用$f$來計算它所表示的實數的任何精度的有理數近似。

在這個定義下，實數${\sqrt {2}}$可以用一個算法表示，它對於每個$0\leq i\leq n$計算出最大的整數$a_{i}$使得$a_{i}^{2}\leq 2i^{2}$然後輸出$\left(\mathrm {max} \left\{{a_{i} \over i}\right\},\mathrm {min} \left\{{a_{i}+1 \over i}\right\}\right)$。

這個定義和採用柯西列的經典定義相關，除了要求序列是構造式的：也就是說，我們有個計算第$n$個序列中的元素的算法，所以有一個計算任意精確的對${\sqrt {2}}$的有理數近似的算法。

注意構造性要求使得上述定義和通常非構造主義的實數定義不相容：因為每個算法$\xi$必須是一個有限指令集$\Sigma$上的有限序列，存在一個雙射函數$f:\Sigma ^{*}\rightarrow \mathbb {N}$。所以所有算法的集合和所有自然數的集合有同樣的基數。當使用一個非構造式的定義時，康托對角線論證證明實數比自然數有更高的基數。

數學家們的態度

傳統上，數學家對於數學構造主義曾經持懷疑態度，如果不是完全反對的話，很大程度上這是因為它對構造分析的限制。

這些觀點希爾伯特在1928年曾有強烈表示。他在《數學基礎》（Die Grundlagen der Mathematik）寫道：「把排中律從數學家那裡拿走，就像把望遠鏡從天文學家那裡拿走，或是從拳擊手那裡把拳頭拿走一樣」 （排中律在構造性邏輯中不成立）。

Errett Bishop，在他1967年的著作《構造性分析學基礎》（Foundations of Constructive Analysis）中，作了很多驅散這種恐怖，他的辦法是用構造性的框架中發展出大部分傳統的分析學。

但是，並不是所有數學家都認為Bishop非常成功，因為他的書比經典分析教科書更複雜。

無論如何，多數數學家不認為應該把自己限制到構造主義方式，甚至當可以這樣做的時候。

對構成主義有貢獻的數學家

• 克羅內克（Leopold Kronecker）
• L.E.J. Brouwer
• 保羅·洛倫岑
• Errett Bishop

分支

• 構造性邏輯
• 構造主義類型理論
• 構造主義分析
• 可計算性邏輯

參見

• 數學直覺主義
• 直覺主義類型理論
• 有限主義
• 博弈語義學
• 構造性證明

外部連結

• 可計算邏輯主頁