標量乘法

「標量乘法」的各地常用名稱
「標量乘法」的各地常用名稱
中國大陸	標量乘法、數乘
臺灣	純量乘法、係數積

標量乘法（英語：scalar multiplication）是線性代數中向量空間的一種基本運算^[1]^[2]^[3]（更廣義的，是抽象代數的一個模）^[4]^[5])。在直覺上，將一個實數向量和一個正的實數進行標量乘法，也就是將其長度乘以此標量，方向不變。標量一詞也從此用法而來：可將向量縮放的量。標量乘法是將標量和向量相乘，結果得到一向量，和內積將兩向量相乘，得到一純量不同。

定義

若K為域，而V為K上的向量空間，標量乘法為從K× V到V的函數。將K中的c和V中的v計算標量乘法，結果記為cv。

性質

標量乘法符合以下的規則：（粗體表示向量）

標量的加成性：(c + d)v = cv + dv；
向量的加成性：c(v + w) = cv + cw；
標量相乘和標量乘法的結合律：(cd)v = c(dv)；
乘以1不會改變向量：1v = v；
乘以0會得到零向量（英語：zero vector）：0v = 0；
乘以-1會得到加法逆元：(−1)v = −v.

其中+表示域或是向量空間的加法，0是域或是向量空間的加法單位元

詮釋

標量乘法可以視為是向量空間的外部二元運算或域的群作用。標量乘法的幾何詮釋是向量的拉長，方向可能會對調。

標量乘法中，V也可以是K，則標量乘法就變成域中的乘法。

若V是Kⁿ，標量乘法等於向量中的每一個元素都和標量相乘，需另外定義。

若K是交換環而V是K上的模，同樣的定義仍可以適用。 K甚至可以是一個半環，但沒有加法逆元。若K不符合交換律，可以定義左標量乘法cv和右標量乘法vc。

參考資料

^ Lay, David C. Linear Algebra and Its Applications 3rd. Addison–Wesley. 2006. ISBN 0-321-28713-4.
^ Strang, Gilbert. Linear Algebra and Its Applications 4th. Brooks Cole. 2006. ISBN 0-03-010567-6.
^ Axler, Sheldon. Linear Algebra Done Right 2nd. Springer. 2002. ISBN 0-387-98258-2.
^ Dummit, David S.; Foote, Richard M. Abstract Algebra 3rd. John Wiley & Sons. 2004. ISBN 0-471-43334-9.
^ Lang, Serge. Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Springer. 2002. ISBN 0-387-95385-X.

[1] Lay, David C. Linear Algebra and Its Applications 3rd. Addison–Wesley. 2006. ISBN 0-321-28713-4.

[2] Strang, Gilbert. Linear Algebra and Its Applications 4th. Brooks Cole. 2006. ISBN 0-03-010567-6.

[3] Axler, Sheldon. Linear Algebra Done Right 2nd. Springer. 2002. ISBN 0-387-98258-2.

[4] Dummit, David S.; Foote, Richard M. Abstract Algebra 3rd. John Wiley & Sons. 2004. ISBN 0-471-43334-9.

[5] Lang, Serge. Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Springer. 2002. ISBN 0-387-95385-X.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

標量乘法

目次

定義

性質

詮釋

相關

參考資料