橢圓

圓錐曲線,平面上到兩個固定點的距離之和為常數的點之軌跡

數學中,橢圓是平面上到兩個相異固定點的距離之和為常數的點之軌跡。

橢圓和它的某些數學性質

根據該定義,可以用手繪橢圓:先準備一條線,將這條線的兩端各綁在固定的點上(這兩個點就當作是橢圓的兩個焦點,且距離小於線長);取一支筆,用筆尖將線繃緊,這時候兩個點和筆就形成一個三角形(的兩邊);然後左右移動筆尖拉住線開始作圖,持續地使線繃緊,最後就可以完成一個橢圓圖形。

由於兩個固定點之間的距離也是一定的,所以可以省去綁在點上這一步驟而改將線綁成環狀,然後以筆尖和這兩個焦點將線繃直即可。下同。

概述

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一個平面切截一個圓錐面得到的橢圓。

橢圓是一種圓錐曲線:如果一個平面切截一個圓錐面,且不與它的底面相交,也不與它的底面平行,則圓錐和平面交截線是個橢圓。

在代數上說,橢圓是在笛卡爾平面上如下形式的方程所定義的曲線

 

使得  ,這裡的係數都是實數,並存在定義在橢圓上的點對 (x, y) 的多於一個的解。

穿過兩焦點並終止於橢圓上的線段AB叫做長軸。長軸是通過連接橢圓上的兩個點所能獲得的最長線段。穿過中心(兩焦點的連線的中點)垂直於長軸並且終止於橢圓的線段CD叫做短軸半長軸(圖中指示為 a)是長軸的一半:從中心通過一個焦點到橢圓的邊緣的線段。半短軸(圖中指示為 b)是短軸的一半。

如果兩個焦點重合,則這個橢圓是;換句話說,圓是離心率為零的橢圓。

中心位於原點的橢圓   可以被看作單位圓在關聯於對稱矩陣  線性映射下的圖像,這裡的 D 是帶有  特徵值對角矩陣,二者沿着主對角線都是正實數的,而 P 是擁有  特徵向量作為縱列的實數的酉矩陣。橢圓的長短軸分別沿着   的兩個特徵向量的方向,而兩個與之對應的特徵值分別是半長軸半短軸的長度的平方的倒數

橢圓可以通過對一個圓的所有點的 x 坐標乘以一個常數而不改變 y 坐標來生成。

離心率

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形狀母數:
  • C:中心
  • F1:焦點一;
  • F2:焦點二;
  • a:半長軸;
  • b:半短軸;
  • c:半焦距;
  • p:半正焦弦(通常標示作 )。

橢圓的形狀可以用叫做橢圓的離心率的一個數來表達,習慣上指示為  。離心率是小於 1 大於等於 0 的實數。離心率 0 表示着兩個焦點重合而這個橢圓是

對於有半長軸 a 和半短軸 b 的橢圓,離心率是

 

離心率越大,ab比率就越大,因此橢圓被更加拉長。

半焦距c 等於從中心到任一焦點的距離,

 

 

半焦距 c 也叫做橢圓的線性離心率。在兩個焦點間的距離是 2c = 2aε。

方程

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在正規位置上的橢圓的參數方程。參數 t 是藍線對於 X-軸的角度。

中心位於點   的主軸平行於 x 軸的橢圓由如下方程指定

 

這個橢圓可以參數化表達為

 
 

這裡的   可以限制於區間  

如果   (就是說,如果中心是原點(0,0)),則

 
 

這個參數方程揭示了兩個方向相互垂直的簡諧運動(表現為具有周期性的簡諧波)合成了閉合的橢圓形周期性運動(表現為軌跡是橢圓)。

橢圓方程    
圖像
範圍    

相對於中心的極坐標形式

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用極坐標可表達為

 

這裡的   是橢圓的離心率;    的夾角

相對於焦點的極坐標形式

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橢圓的極坐標,原點在 F1

有一個焦點在原點的橢圓的極坐標方程

 

這裡的     的夾角

半正焦弦和極坐標

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橢圓的半正焦弦(通常指示為  ),是從橢圓的一個焦點到橢圓自身,沿着垂直主軸的直線測量的距離。它有關於   (橢圓的半軸),通過公式   或者如果使用離心率的話  

 
橢圓,使用半正焦弦展示

極坐標中,一個焦點在原點而另一個焦點在負 x 軸上的橢圓給出自方程

 

橢圓可以被看作是圓的投影:在與水平面有角度 φ 的平面上的圓垂直投影到水平面上給出離心率 sin φ 的橢圓,假定 φ 不是 90°。

 
橢圓(用紅色繪制)可以表達為內旋輪線在 R=2r 時的特殊情況。

面積和周長

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橢圓所包圍的面積是  ,這裡的  ,和 , 是半長軸和半短軸。在圓的情況下 ,表達式簡化為  

橢圓的周長是  ,這裡的函數 是第二類完全橢圓積分

周長為: 或者 

精確的無窮級數為:

 

或:

 

拉馬努金給出一較為接近的式子:

 

它還可以寫為:

 

還有一條近似很高的公式:

 

標準方程的推導

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  • 如果在一個平面內一個動點到兩個定點距離的和等於定長,那麼這個動點的軌跡叫做橢圓。

假設(注意所有假設只是為了導出橢圓方程時比較簡便)動點為 ,兩個定點為  ,則根據定義,動點 的軌跡方程滿足(定義式):

 ,其中 為定長。

用兩點的距離公式可得:  ,代入定義式中,得:

 

上式左方分子湊出平方差,並化簡,得:

 

分子大部分相消,分母移項即得

 

①、②式相加並平方,整理得

 

 時,並設 ,則上式可以進一步化簡:

 

因為 ,將上式兩邊同除以 ,可得:

 

則該方程即動點 的軌跡方程,即橢圓的方程。這個形式也是橢圓的標準方程

  • 橢圓的圖像如果在直角坐標系中表示,那麼上述定義中兩個定點被定義在了x軸。若將兩個定點改在y軸,可以用相同方法求出另一個橢圓的標準方程
 
  • 在方程中,所設的 稱為長軸長, 稱為短軸長,而所設的定點稱為焦點,那麼 稱為焦距。在假設的過程中,假設了 ,如果不這樣假設,會發現得不到橢圓。當 時,這個動點的軌跡是一個線段;當 時,根本得不到實際存在的軌跡,而這時,其軌跡稱為虛橢圓。另外還要注意,在假設中,還有一處: 
  • 通常認為是橢圓的一種特殊情況。

橢圓的旋轉和平移

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對於平面上任意橢圓  ,總可以將之轉化為

 

的形式。具體步驟為,將後式的各乘積乘方項展開,根據與前式對應項係數相等的法則便可求得u,v,D',E',F'的值( ,  ,  )。其中, 便是該橢圓的中心(F'=0)。

若將

 
 

代入式中便可得到平移前的橢圓。

 ,則表示橢圓的長短軸與坐標系的坐標軸並不平行或垂直,即發生了旋轉。設旋轉的角度為 ,則有

 

 ,則說明 

若將

 
 

代入式中便可得到旋轉前的橢圓。

漸開線及其導數

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有了橢圓漸開線的導數,可以計算它的長度,其中 是第二類完全橢圓積分

參見

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外部連結

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