泊松方程(法語:Équation de Poisson)是數學中一個常見於靜電學機械工程理論物理偏微分方程式,因法國數學家幾何學家物理學家泊松而得名的。[1]

方程的敘述

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泊松方程式為

 

在這裡 代表的是拉普拉斯算子,而  可以是在流形上的實數複數值的方程式。當流形屬於歐幾里得空間,而拉普拉斯算子通常表示為 ,因此泊松方程通常寫成

 

在三維直角坐標系,可以寫成

 

如果有 恆等於0,這個方程式就會變成一個齊次方程,這個方程稱作「拉普拉斯方程」。

 

泊松方程可以用格林函數來求解;如何利用格林函數來解泊松方程可以參考屏蔽泊松方程英語Screened Poisson equation。現在也發展出很多種數值解,如鬆弛法英語relaxation method(一種迭代法)。

數學表達

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通常泊松方程式表示為

 

這裡 代表拉普拉斯算子 為已知函數,而 為未知函數。當  時,這個方程被稱為拉普拉斯方程

為了解泊松方程我們需要更多的信息,比如狄利克雷邊界條件:

 

其中   為有界開集

這種情況下利用基礎函數構建泊松方程的解,拉普拉斯方程的基礎函數為:

 

其中 為n維歐幾里得空間中單位球面的體積,此時可通過卷積 得到  的解。

為了使方程滿足上述邊界條件,我們使用格林函數

 

  為一個校正函數,它滿足

 

通常情況下 是依賴於 

通過  可以給出上述邊界條件的解

 

其中  表示 上的曲面測度。

此方程的解也可通過變分法得到。

靜電學

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靜電學很容易遇到泊松方程。對於給定的f找出φ是一個很實際的問題,因為我們經常遇到給定電荷密度然後找出電位的問題。在國際單位制SI)中:

 

 代表電勢(單位為伏特), 體電荷密度(單位為庫侖/立方公尺),而 真空電容率(單位為法拉/公尺)。

如果空間中有某區域沒有帶電粒子,則

 

此方程式就變成拉普拉斯方程

 

高斯電荷分佈的電場

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如果有一個三維球對稱的高斯分佈電荷密度  

 

此處,Q代表總電荷

此泊松方程式:  的解Φ(r)則為

 

erf(x)代表的是誤差函數.

注意:如果r遠大於σ,erf(x)趨近於1,而電場Φ(r)趨近點電荷電場  ;正如我們所預期的。

參閱

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參考文獻

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引用

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  1. ^ Jackson, Julia A.; Mehl, James P.; Neuendorf, Klaus K. E. (編), Glossary of Geology, American Geological Institute, Springer: 503, 2005 [2015-05-30], ISBN 9780922152766, (原始內容存檔於2020-11-20) .

來源

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外部連結

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