泊松方程
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泊松方程(法语:Équation de Poisson)是数学中一个常见于静电学、机械工程和理论物理的偏微分方程,因法国数学家、几何学家及物理学家泊松而得名的。[1]
方程的叙述
编辑泊松方程为
在这里 代表的是拉普拉斯算子,而 和 可以是在流形上的实数或复数值的方程。当流形属于欧几里得空间,而拉普拉斯算子通常表示为 ,因此泊松方程通常写成
在三维直角坐标系,可以写成
如果有 恒等于0,这个方程就会变成一个齐次方程,这个方程称作“拉普拉斯方程”。
泊松方程可以用格林函数来求解;如何利用格林函数来解泊松方程可以参考屏蔽泊松方程。现在也发展出很多种数值解,如松弛法(一种迭代法)。
数学表达
编辑通常泊松方程表示为
这里 代表拉普拉斯算子, 为已知函数,而 为未知函数。当 时,这个方程被称为拉普拉斯方程。
为了解泊松方程我们需要更多的信息,比如狄利克雷边界条件:
其中 为有界开集。
这种情况下利用基础函数构建泊松方程的解,拉普拉斯方程的基础函数为:
其中 为n维欧几里得空间中单位球面的体积,此时可通过卷积 得到 的解。
为了使方程满足上述边界条件,我们使用格林函数
为一个校正函数,它满足
通常情况下 是依赖于 。
通过 可以给出上述边界条件的解
其中 表示 上的曲面测度。
此方程的解也可通过变分法得到。
静电学
编辑在静电学很容易遇到泊松方程。对于给定的f找出φ是一个很实际的问题,因为我们经常遇到给定电荷密度然后找出电势的问题。在国际单位制(SI)中:
此 代表电势(单位为伏特), 是体电荷密度(单位为库仑/立方米),而 是真空电容率(单位为法拉/米)。
如果空间中有某区域没有带电粒子,则
此方程就变成拉普拉斯方程:
高斯电荷分布的电场
编辑如果有一个三维球对称的高斯分布电荷密度 :
此处,Q代表总电荷
此泊松方程: 的解Φ(r)则为
erf(x)代表的是误差函数.
注意:如果r远大于σ,erf(x)趋近于1,而电场Φ(r)趋近点电荷电场 ;正如我们所预期的。
参阅
编辑参考文献
编辑引用
编辑- ^ Jackson, Julia A.; Mehl, James P.; Neuendorf, Klaus K. E. (编), Glossary of Geology, American Geological Institute, Springer: 503, 2005 [2015-05-30], ISBN 9780922152766, (原始内容存档于2020-11-20).
来源
编辑- Poisson Equation (页面存档备份,存于互联网档案馆) at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
- L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
- A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9.
外部链接
编辑- Hazewinkel, Michiel (编), Poisson equation, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- Poisson's equation (页面存档备份,存于互联网档案馆) on PlanetMath.