狄拉克符號

量子力学符号系统

狄拉克符號狄拉克標記(英語:Dirac notation)是量子力學中廣泛應用於描述量子態的一套標準符號系統。在這套系統中,每一個量子態都被描述為希爾伯特空間中的態向量,定義為右矢ket):;每一個右矢的共軛轉置定義為其左矢bra);換一種說法,右矢的厄米共軛(即取轉置運算加上共軛複數運算),就可以得到左矢。

此標記法為狄拉克於1939年將「bracket」(括號)這個詞拆開後所造的。[1]在中國方面,一些舊有的教科書和文獻中也將其譯為「刁矢」和「刃矢」、或「彳矢」和「亍矢」,現已棄用。

矩陣表示

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右矢與左矢可分別用N×1階和1×N階矩陣表示為:

 
 

不同的兩個態矢量的內積則由一個括號來表示: ,當狄拉克符號作用於兩個基矢時,所得值為:  克羅內克函數

相同的態矢量內積為: 

性質

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因為每個右矢是希爾伯特空間中的一個向量,而每個右矢-左矢關係是內積,而直接地可以得到如下的操作方式:

  • 給定任何左矢 、右矢 以及 ,還有複數c1c2,則既然左矢是線性泛函,根據線性泛函的加法與純量乘法的定義,
 
  • 給定任何右矢 、左矢 以及 ,還有複數c1c2,則既然右矢是線性泛函
 
  • 給定任何右矢  ,還有複數c1c2,根據內積的性質(其中c*代表c的複數共軛),
  對偶。
  • 給定任何左矢 及右矢 ,內積的一個公理性質指出
 
  • 給定任何算符 、左矢 及右矢 ,它們之間的合法相乘滿足乘法結合公理,例如,[2]:16-17
 
 

相關條目

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參考文獻

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  1. ^ PAM Dirac. A new notation for quantum mechanics 35 (3). 1939: 416–418 [2014-01-31]. doi:10.1017/S0305004100021162. (原始內容存檔於2013-12-03).  |journal=被忽略 (幫助)
  2. ^ Sakukrai, J. J.; Napolitano, Jim, Modern Quantum Mechanics 2nd, Addison-Wesley, 2010, ISBN 978-0805382914