立方圖

在圖論中，若一個圖的每個頂點度數均為三，則稱其為立方圖（Cubic graph）、3-正則圖或三次圖。

對稱性

1932年，Ronald M. Foster（英語：R. M. Foster）首先尋找立方對稱圖（英語：Symmetric graph）的例子，並收集為Foster census（英語：Foster census）。^[1]許多著名的圖都是立方對稱圖，如湯瑪森圖、彼得森圖等。威廉·湯瑪斯·圖特用滿足下列性質的最大整數s來對立方對稱圖進行分類：圖的自同構群在其所有長度為s的路徑（其中不能有重複的邊）組成的集合上作用是傳遞的。他證明了s最大只能取5，也即s的可能值是1到5。^[2]

根據布魯克定理，除了K₄以外的任何連通立方圖都可以用至多三種顏色染色。也即，這樣的連通立方圖至少存在一個包含n/3個頂點的獨立集，其中n是該圖的頂點數。

根據Vizing定理，任一立方圖的邊色數（英語：Edge chromatic number）只能為三或四。3-邊着色又稱Tait-着色，Tait-着色方式將邊集分割為三個完美匹配。根據Kőnig's_theorem（英語：Kőnig%27s_theorem_(graph_theory)）每個二分立方圖都有一個Tait-着色。

關於立方圖是否具有哈密頓迴路（英語：Hamiltonian path）有許多研究。1880年，P.G. Tait（英語：Peter Tait (physicist)）猜想任一立方多面體圖都有哈密頓迴路。1946年，威廉·湯瑪斯·圖特提出了Tait猜想（英語：Tait's conjecture）的反例，有46個點的圖特圖（英語：Tutte graph）。1971年，圖特猜想所有的二分立方圖都有哈密頓迴路。然而Joseph Horton提出了圖特猜想的反例，有96個點的Horton圖（英語：Horton graph）。^[3]在這之後，Mark Ellingham（英語：Mark Ellingham）又提出了兩個反例：Ellingham–Horton圖（英語：Ellingham–Horton graph）。^[4]^[5]Barnette猜想（英語：Barnette's conjecture）（目前仍是猜想）將Tait猜想與圖特猜想結合起來，稱任一二分立方多面體圖都有哈密頓迴路。當一個立方圖有哈密頓迴路時，可以使用LCF表示法（英語：LCF notation）簡潔地表示。

如果從所有 $n$ 階立方圖中隨機選取一個，那麼它有相當大概率有哈密頓迴路：當 $n$ 趨近於無窮時，這個概率趨近於1。^[6]

David Eppstein（英語：David Eppstein）猜想任一 $n$ 階立方圖最多有 $2^{n/3}$ （約等於 $1.260^{n}$ ）條不同的哈密頓迴路，且給出了極限情況下的例子。^[7]目前為止，得到證明的最佳估計為 $O({1.276}^{n})$ 。^[8]

^ Foster, R. M., Geometrical Circuits of Electrical Networks, Transactions of the American Institute of Electrical Engineers, 1932, 51 (2): 309–317, doi:10.1109/T-AIEE.1932.5056068 .
^ Tutte, W. T., On the symmetry of cubic graphs, Can. J. Math., 1959, 11: 621–624 [2019-05-10], doi:10.4153/CJM-1959-057-2, （原始內容存檔於2011-07-16） .
^ Bondy, J. A. and Murty, U. S. R. Graph Theory with Applications. New York: North Holland, p. 240, 1976.
^ Ellingham, M. N. "Non-Hamiltonian 3-Connected Cubic Partite Graphs."Research Report No. 28, Dept. of Math., Univ. Melbourne, Melbourne, 1981.
^ Ellingham, M. N.; Horton, J. D., Non-Hamiltonian 3-connected cubic bipartite graphs, Journal of Combinatorial Theory, Series B, 1983, 34 (3): 350–353, doi:10.1016/0095-8956(83)90046-1  .
^ Robinson, R.W.; Wormald, N.C., Almost all regular graphs are Hamiltonian, Random Structures and Algorithms, 1994, 5 (2): 363–374, doi:10.1002/rsa.3240050209 .
^ Eppstein, David, The traveling salesman problem for cubic graphs (PDF), Journal of Graph Algorithms and Applications, 2007, 11 (1): 61–81 [2020-12-27], arXiv:cs.DS/0302030  , doi:10.7155/jgaa.00137, （原始內容 (PDF)存檔於2021-02-24） .
^ Gebauer, H., On the number of Hamilton cycles in bounded degree graphs, Proc. 4th Workshop on Analytic Algorithmics and Combinatorics (ANALCO '08), 2008 .