立方图

在图论中，若一个图的每个顶点度数均为三，则称其为立方图（Cubic graph）、3-正则图或三次图。

对称性

1932年，Ronald M. Foster（英语：R. M. Foster）首先寻找立方对称图（英语：Symmetric graph）的例子，并收集为Foster census（英语：Foster census）。^[1]许多著名的图都是立方对称图，如汤玛森图、彼得森图等。威廉·湯瑪斯·圖特用满足下列性质的最大整数s来对立方对称图进行分类：图的自同构群在其所有长度为s的路径（其中不能有重复的边）组成的集合上作用是传递的。他证明了s最大只能取5，也即s的可能值是1到5。^[2]

根据布鲁克定理，除了K₄以外的任何连通立方图都可以用至多三种颜色染色。也即，这样的连通立方图至少存在一个包含n/3个顶点的独立集，其中n是该图的顶点数。

根据Vizing定理，任一立方图的边色数（英语：Edge chromatic number）只能为三或四。3-边着色又称Tait-着色，Tait-着色方式将边集分割为三个完美匹配。根据Kőnig's_theorem（英语：Kőnig%27s_theorem_(graph_theory)）每个二分立方图都有一个Tait-着色。

关于立方图是否具有哈密顿回路（英语：Hamiltonian path）有许多研究。1880年，P.G. Tait（英语：Peter Tait (physicist)）猜想任一立方多面体图都有哈密顿回路。1946年，威廉·湯瑪斯·圖特提出了Tait猜想（英语：Tait's conjecture）的反例，有46个点的图特图（英语：Tutte graph）。1971年，图特猜想所有的二分立方图都有哈密顿回路。然而Joseph Horton提出了图特猜想的反例，有96个点的Horton图（英语：Horton graph）。^[3]在这之后，Mark Ellingham（英语：Mark Ellingham）又提出了两个反例：Ellingham–Horton图（英语：Ellingham–Horton graph）。^[4]^[5]Barnette猜想（英语：Barnette's conjecture）（目前仍是猜想）将Tait猜想与图特猜想结合起来，称任一二分立方多面体图都有哈密顿回路。当一个立方图有哈密顿回路时，可以使用LCF表示法（英语：LCF notation）简洁地表示。

如果从所有 $n$ 阶立方图中随机选取一个，那么它有相当大概率有哈密顿回路：当 $n$ 趋近于无穷时，这个概率趋近于1。^[6]

David Eppstein（英语：David Eppstein）猜想任一 $n$ 阶立方图最多有 $2^{n/3}$ （约等于 $1.260^{n}$ ）条不同的哈密顿回路，且给出了极限情况下的例子。^[7]目前为止，得到证明的最佳估计为 $O({1.276}^{n})$ 。^[8]

^ Foster, R. M., Geometrical Circuits of Electrical Networks, Transactions of the American Institute of Electrical Engineers, 1932, 51 (2): 309–317, doi:10.1109/T-AIEE.1932.5056068 .
^ Tutte, W. T., On the symmetry of cubic graphs, Can. J. Math., 1959, 11: 621–624 [2019-05-10], doi:10.4153/CJM-1959-057-2, （原始内容存档于2011-07-16） .
^ Bondy, J. A. and Murty, U. S. R. Graph Theory with Applications. New York: North Holland, p. 240, 1976.
^ Ellingham, M. N. "Non-Hamiltonian 3-Connected Cubic Partite Graphs."Research Report No. 28, Dept. of Math., Univ. Melbourne, Melbourne, 1981.
^ Ellingham, M. N.; Horton, J. D., Non-Hamiltonian 3-connected cubic bipartite graphs, Journal of Combinatorial Theory, Series B, 1983, 34 (3): 350–353, doi:10.1016/0095-8956(83)90046-1  .
^ Robinson, R.W.; Wormald, N.C., Almost all regular graphs are Hamiltonian, Random Structures and Algorithms, 1994, 5 (2): 363–374, doi:10.1002/rsa.3240050209 .
^ Eppstein, David, The traveling salesman problem for cubic graphs (PDF), Journal of Graph Algorithms and Applications, 2007, 11 (1): 61–81 [2020-12-27], arXiv:cs.DS/0302030  , doi:10.7155/jgaa.00137, （原始内容 (PDF)存档于2021-02-24） .
^ Gebauer, H., On the number of Hamilton cycles in bounded degree graphs, Proc. 4th Workshop on Analytic Algorithmics and Combinatorics (ANALCO '08), 2008 .