缺失矩陣

在線性代數中，缺失矩陣或稱缺陷矩陣、不完備矩陣是沒有完備的特徵向量基的方陣，因此無法被對角化。特別地，一個n × n矩陣是缺失的，當且僅當此矩陣不具備有n 個線性獨立的特徵向量。 ^[1]利用廣義特徵向量對特徵向量進行擴充，形成完整的基，這是解決常微分方程組等缺失系統所必需的方式。

一個n × n 的缺失矩陣總有少於n 個不同(相異)的特徵值 (不同的特徵值是有線性獨立的特徵向量)。特別的是，缺失矩陣具有一個或多個特徵值λ ，其代數重數m > 1（即它們是特徵多項式的多重根），但與λ相關的線性獨立特徵向量少於m個。如果λ的代數重數超過其幾何重數（即與λ相關的線性獨立特徵向量的數量），則稱λ為缺失特徵值。 ^[1]然而，每一個具有代數重數m的特徵值總是具有m個線性獨立的廣義特徵向量。

一個厄米矩陣（或厄米矩陣的特例實對稱矩陣）或酉矩陣永遠不會是缺失的；更廣義地說，一個正規矩陣（包括厄米矩陣和酉矩陣作）永遠不會是缺失的。

若爾當塊

任何 2× 2 或矩陣維度更大的非平庸若爾當矩陣（即不完全對角）會是缺失的。（一個對角矩陣是具有所有平庸若爾當塊的若爾當標準型的特例，並且不是缺失的)。例如，對於一個 n × n 若爾當塊 :

J={\begin{bmatrix}\lambda &1&\;&\;\\\;&\lambda &\ddots &\;\\\;&\;&\ddots &1\\\;&\;&\;&\lambda \end{bmatrix}},

其對角線上都是同一個元素，而對角線上一排都是1，其餘位置上都是0。此 n × n 若爾當塊可以有一個特徵值λ ，而且其代數重數為 n （如果還存有相同特徵值的其他若爾當塊，其代數重數更大），但只有一個不同的特徵向量 $Jv_{1}=\lambda v_{1}$ ，此處的 $v_{1}={\begin{bmatrix}1\\0\\\vdots \\0\end{bmatrix}}.$ 與此同時，其他正則基向量 $v_{2}={\begin{bmatrix}0\\1\\\vdots \\0\end{bmatrix}},~\ldots ,~v_{n}={\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\1\end{bmatrix}}$ 會形成廣義特徵向量，並使得 $Jv_{k}=\lambda v_{k}+v_{k-1}$ ，此處的 $k=2,\ldots ,n$ 。