稜台幾何學中研究的一類多面體,指一個稜錐平行於它的底面的一個平面所截後,截面與底面之間的幾何形體。截面也稱為稜台的上底面,原來稜錐的底面稱為下底面。隨着稜錐形狀不同,稜台的稱呼也不相同,依底面多邊形而定,例如底面是正方形的稜台稱為方稜台,底面為三角形的稜台稱為三稜台,底面為五邊形的稜台稱為五稜台等等。稜台是平截頭體的一類,也是更廣義的擬柱體的一種。根據所截的是圓錐還是稜錐,可分為圓台稜台

錐台
例如:五角錐台與四角錐台
類別錐台
對偶多面體不對稱雙錐體
性質
頂點
歐拉特徵數F=, E=, V= (χ=2)
組成與佈局
面的種類n梯形, 2 個n邊形
對稱性
對稱群Cnv, [1,n], (*nn)
特性
凸多面體
圖像
立體圖

不對稱雙錐體
對偶多面體

展開圖
註:為底面邊數 。

從稜台的定義可以推知,一個以n邊形為底面的稜台,一共有2n頂點n+2個面以及3n條邊。稜台的對偶多面體雙錐。稜台的對稱性取決於原來稜錐。如果原來的稜錐是正稜錐,那麼稜台和正多邊形有相同的對稱結構(同構對稱群)。

性質

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體積

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稜台的體積取決於兩底面之間的距離(稜台的高),以及原來稜錐的體積。設 為稜台的高,  為稜台的上下底面積,  為稜台的體積。由於稜台是由一個平面截去稜錐的一部分(也就是和原來稜錐相似的一個小稜錐)得到,所以計算體積的時候,可以先算出原來稜錐的體積,再減去和它相似的小稜錐的體積。稜錐被平行於底面的平面所截時,截面的面積與底面面積的比,等於小稜錐和原稜錐的高的比的平方。假設原稜錐的高是 ,那麼小稜錐的高是 。也就是說:

 

所以:

 

稜台的體積等於原稜錐體積減去小稜錐的體積:

 

對於正稜錐,假設它的底面是正n邊形,邊長分別為ab,高是h,那麼底面積是:  所以它的體積是:

 

表面積

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稜台的側面展開圖是由各個梯形側面組成的,展開圖的面積,就是各個側面的面積之和,也就是原稜錐的側面積減去小稜錐的側面積Sc

 ,其中 是第 i 個側面的面積。

稜台的表面積等於稜台的側面積Sc加上底面積S。假設各個梯形側面的高是hi,底邊的長度是aibi,那麼稜錐的側面積:

 

體積公式

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稜台或圓台的體積是原立體圖形的體積減去被截去部分的體積:

 

B1 指一個底面的面積,B2指另一個底面的面積, and h1h2 指原頂點分別到兩底面的面積。 考慮到

 

這個體積也可用平截頭體的高 h = h2h1 與兩底面面積的希羅平均數表達:

 

亞歷山大里亞的希羅 推導出了這個公式並且憑藉它遇到了虛數。[1]

特別地, 圓台的體積是

 

π 等於 3.14159265...,'R1, R2 是兩底面的半徑

 
Pyramidal frustum.

底面為n邊形的稜台的體積是

 

a1a2 是底面的邊長。

表面積公式

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對於一個正圓台,[2]

 
 

Lateral Surface Area指側面積,Total Surface Area指總面積,R1 and R2 為底面半徑,s 為平截頭體的斜高。 一個底面為正n邊形的正稜台的表面積是

 

a1a2是兩底面的邊長。

參見

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參考資料

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  1. ^ Nahin, Paul. "An Imaginary Tale: The story of the square root of minus one." Princeton University Press. 1998
  2. ^ Mathwords.com: Frustum. [17 July 2011]. (原始內容存檔於2021-01-26). 

鏈接

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