隨機偏微分方程
隨機偏微分方程（英文：Stochastic partial differential equation，SPDE）為偏微分方程引入了隨機項和隨機係數，類似於隨機微分方程之於常微分方程。隨機微分方程在量子場論、統計力學、金融數學中有着廣泛的應用。[1][2]
示例
編輯最常見的SPDE之一是隨機熱傳導方程[3] ，形式上可以寫作
討論
編輯一個困難是缺乏正規性。在一個空間維度中，隨機熱傳導方程的解在空間上幾乎只有1/2-赫爾德連續，在時間上則只有1/4-赫爾德連續。對於二維及更高維度，解甚至不是函數值，但可以理解為隨機分布。
對於線性方程，通常可以通過半群手段找到溫和解（mild solution）。[6] 然而，當考慮非線性方程時，問題就開始出現了。例如
其中 是多項式。在這種情況下，我們甚至不知道該如何理解這個方程。這樣的方程在多維情形下也不會有數值解，因此也沒有點。眾所周知，分布空間沒有積結構。這是此類理論的核心問題。這就需要某種形式的重整化。
為規避某些特定方程的此類問題，早期的嘗試是所謂的「普拉托-德布斯切技巧」（da Prato–Debussche trick），即把此類非線性方程作為線性方程的擾動來研究。[7]然而，這只能在非常受限的環境中使用，因為它既取決於非線性因子，也取決於驅動噪聲項的正規性。近年來，這一領域急劇擴大，現在已有大型機制可以保證各種亞臨界SPDE的局部存在性。[8]
另見
編輯參考文獻
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閱讀更多
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外部連結
編輯- A Minicourse on Stochastic Partial Differential Equations (PDF). 2006.
- Hairer, Martin. An Introduction to Stochastic PDEs. 2009. arXiv:0907.4178 [math.PR].