隨機偏微分方程

隨機偏微分方程(英文:Stochastic partial differential equation,SPDE)為偏微分方程引入了隨機和隨機係數,類似於隨機微分方程之於常微分方程。隨機微分方程在量子場論統計力學金融數學中有著廣泛的應用。[1][2]

示例

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最常見的SPDE之一是隨機熱傳導方程[3] ,形式上可以寫作

 

其中 拉普拉斯算子 表示時空白噪聲。其他例子還有知名方程的隨機版本,如波動方程[4]薛丁格方程[5]

討論

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一個困難是缺乏正規性。在一個空間維度中,隨機熱傳導方程的解在空間上幾乎只有1/2-赫爾德連續,在時間上則只有1/4-赫爾德連續。對於二維及更高維度,解甚至不是函數值,但可以理解為隨機分布

對於線性方程,通常可以通過半群手段找到溫和解(mild solution)。[6] 然而,當考慮非線性方程時,問題就開始出現了。例如

 

其中 是多項式。在這種情況下,我們甚至不知道該如何理解這個方程。這樣的方程在多維情形下也不會有數值解,因此也沒有點。眾所周知,分布空間沒有積結構。這是此類理論的核心問題。這就需要某種形式的重整化

為規避某些特定方程的此類問題,早期的嘗試是所謂的「普拉托-德布斯切技巧」(da Prato–Debussche trick),即把此類非線性方程作為線性方程的擾動來研究。[7]然而,這只能在非常受限的環境中使用,因為它既取決於非線性因子,也取決於驅動噪聲項的正規性。近年來,這一領域急劇擴大,現在已有大型機制可以保證各種亞臨界SPDE的局部存在性。[8]

另見

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參考文獻

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  1. ^ Prévôt, Claudia; Röckner, Michael. A Concise Course on Stochastic Partial Differential Equations. Lecture Notes in Mathematics. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag. 2007 [2023-10-29]. ISBN 978-3-540-70780-6. (原始內容存檔於2020-03-29) (英語). 
  2. ^ Krainski, Elias T.; Gómez-Rubio, Virgilio; Bakka, Haakon; Lenzi, Amanda; Castro-Camilo, Daniela; Simpson, Daniel; Lindgren, Finn; Rue, Håvard. Advanced Spatial Modeling with Stochastic Partial Differential Equations Using R and INLA. Boca Raton, FL: Chapman and Hall/CRC Press. 2018 [2023-10-29]. ISBN 978-1-138-36985-6. (原始內容存檔於2020-03-29). 
  3. ^ Edwards, S.F.; Wilkinson, D.R. The Surface Statistics of a Granular Aggregate. Proc. R. Soc. Lond. A. 1982-05-08, 381 (1780): 17–31 [2023-10-29]. doi:10.1098/rspa.1982.0056. (原始內容存檔於2023-12-29) (英語). 
  4. ^ Dalang, Robert C.; Frangos, N. E. The Stochastic Wave Equation in Two Spatial Dimensions. The Annals of Probability. 1998, 26 (1): 187–212 [2023-10-29]. ISSN 0091-1798. (原始內容存檔於2023-05-09). 
  5. ^ Diósi, Lajos; Strunz, Walter T. The non-Markovian stochastic Schrödinger equation for open systems. Physics Letters A. 1997-11-24, 235 (6): 569–573. ISSN 0375-9601. arXiv:quant-ph/9706050 . doi:10.1016/S0375-9601(97)00717-2 (英語). 
  6. ^ Walsh, John B. Carmona, René; Kesten, Harry; Walsh, John B.; Hennequin, P. L. , 編. An introduction to stochastic partial differential equations. École d'Été de Probabilités de Saint Flour XIV - 1984. Lecture Notes in Mathematics (Springer Berlin Heidelberg). 1986, 1180: 265–439. ISBN 978-3-540-39781-6. doi:10.1007/bfb0074920 (英語). 
  7. ^ Da Prato, Giuseppe; Debussche, Arnaud. Strong Solutions to the Stochastic Quantization Equations. Annals of Probability. 2003, 31 (4): 1900–1916. JSTOR 3481533. 
  8. ^ Corwin, Ivan; Shen, Hao. Some recent progress in singular stochastic partial differential equations. Bull. Amer. Math. Soc. 2020, 57 (3): 409–454. doi:10.1090/bull/1670 . 

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外部連結

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