三立方數和
三立方數和問題(英語:sums of three cubes)是指丟番圖方程是否存在整數解的問題。由於立方數模9同餘0、1或-1,三立方數和模9不可能同餘4或5,因而這是整數解存在的一個必要條件。然而,對於該條件是否同時為充分條件目前仍未有定論。
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小整數例
編輯時,若存在非平凡的三立方解,則費馬大定理找到反例。此時三個立方數中必有兩個同號,經移項,就會出現兩正整數立方和等於另一正整數立方的情況。由於歐拉早已證明冪次為3的費馬大定理[1],在 時的三立方和只有如下平凡解:
時,存在如下解系,有無數解:
以及,
上述表示經縮放可得,任意立方數或立方數的二倍都有三立方和[2][3]。除上述表示外, 也有其他三立方和解系[4], 有如下著名解[4][5]:
然而,已經證明只在1和2處存在能被四次多項式參數化的解析表示[6]。即便在 處,也沒有參數化解系。路易斯·J·莫德爾在1953年寫道,除了其小整數解,「我對其一無所知」,即:
「我」也不知道為什麼這三個數都滿足模9同餘[7]。2019年9月前,上述兩式曾經是 長期以來僅有的2組已知解[8],但就在同一月,發現了第3組解[9][10]:
計算結果
編輯1955年起,莫德爾(Mordell)等許多學者都嘗試過使用計算機尋找該問題的解。[11][12][5][13][14][15][16][17][18]對於1000以內的正整數 ,埃爾森漢斯(Elsenhans)與雅內爾(Jahnel)於2009年使用諾姆·埃爾奇斯提出的基於格規約的方法[15]找到了 範圍內的所有解。2016年,於斯曼(Huisman)使用同樣的方法將搜索上界提升至 。到此時為止, 的正整數中,33與42以外所有模9不同餘4或5的 都找到了至少一組整數解。[18]
2019年,安德魯·布克採用一種新方法發現了 的一組解:[19]
此時,他在 的範圍里尚沒有找到 的解。[19]
隨後在2019年9月,布克和安德魯·薩瑟蘭最終敲定了42的一個解,並在MIT數學系的網站上貼了出來[註 1]:
這個解的獲得在Charity Engine全球網絡(Charity Engine's global grid)上耗費了130萬機時。
至此1到100之間的所有整數都確認了是否有非零整數解[20]。截至2019年9月[update],未能求解最小整數是 [8],如果有解的話, 至少有一數大於100000000000。
在2021年1月初,又解決了579[21]:
註釋
編輯- ^ 流行文化中,42被稱生命、宇宙以及任何事情的終極答案,薩瑟蘭在頁面的標題提到了這個典故:Life, The Universe, and Everything
參考文獻
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