中心化矩陣

數學和多元變量統計中，中心化矩陣指對稱冪等矩陣，且當其與向量相乘時，效果等用於從向量的每個分量中減去分量的平均值。

定義

大小為n的中心化矩陣是n×n的

$C_{n}=I_{n}-{\tfrac {1}{n}}J_{n}$

其中$I_{n}\,$是單位矩陣，$J_{n}$是n×n一矩陣。例如

$C_{1}={\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}}$,

$C_{2}=\left[{\begin{array}{rrr}1&0\\0&1\end{array}}\right]-{\frac {1}{2}}\left[{\begin{array}{rrr}1&1\\1&1\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{rrr}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{array}}\right]$ ,

$C_{3}=\left[{\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]-{\frac {1}{3}}\left[{\begin{array}{rrr}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{rrr}{\frac {2}{3}}&-{\frac {1}{3}}&-{\frac {1}{3}}\\-{\frac {1}{3}}&{\frac {2}{3}}&-{\frac {1}{3}}\\-{\frac {1}{3}}&-{\frac {1}{3}}&{\frac {2}{3}}\end{array}}\right]$

性質

給定長為n的列向量$\mathbf {v} \,$，$C_{n}\,$的中心性可表為

$C_{n}\,\mathbf {v} =\mathbf {v} -({\tfrac {1}{n}}J_{n,1}^{\textrm {T}}\mathbf {v} )J_{n,1}$

其中$J_{n,1}$是值全為1的列向量，${\tfrac {1}{n}}J_{n,1}^{\textrm {T}}\mathbf {v}$是$\mathbf {v} \,$的分量的平均值。

• $C_{n}\,$是正半定對稱陣。

• $C_{n}\,$是冪等矩陣，所以$C_{n}^{k}=C_{n}\ (k=1,2,\ldots )$。均值被移除的話它就是零，再次移除也沒有任何影響。
• $C_{n}\,$是奇異矩陣/不可逆矩陣。應用$C_{n}\,\mathbf {v}$變換的效果無法逆轉。
• $C_{n}\,$具有重數為n-1的特徵值1與重數為1的特徵值0

• $C_{n}\,$沿向量$J_{n,1}$有維度為1的零空間。

• $C_{n}\,$是正交投影矩陣。也就是說$C_{n}\mathbf {v}$是$\mathbf {v} \,$在n-1維線性子空間上的投影，其與零空間$J_{n,1}$正交（這是所有分量和為0的n向量構成的子空間）。
• $C_{n}$的跡是$n(n-1)/n=n-1$。

應用

雖然與中心化矩陣相乘並不是去除向量均值的有效計算方法，但卻是一種方便的分析工具。它不僅可用來去除單個向量的均值，還可去除存儲在m×n矩陣$X$的行或列中多個向量的均值。

左乘$C_{m}$將從n列的每一列減去相應的均值，這樣積$C_{m}\,X$的每列的均值都是0。相似地，右乘$C_{n}$會從每行減去相應的均值，這樣積$X\,C_{n}$的每行均值都為0。兩側均乘：$C_{m}\,X\,C_{n}$將產生行列均值均為0的矩陣。

中心化矩陣提供了一種表示散佈矩陣的方法：對數據樣本$X\,$，有$S=(X-\mu J_{n,1}^{\mathrm {T} })(X-\mu J_{n,1}^{\mathrm {T} })^{\mathrm {T} }$，其中$\mu ={\tfrac {1}{n}}XJ_{n,1}$是樣本均值。有了中心化矩陣，可以將散佈矩陣更簡潔地表示為

$S=X\,C_{n}(X\,C_{n})^{\mathrm {T} }=X\,C_{n}\,C_{n}\,X\,^{\mathrm {T} }=X\,C_{n}\,X\,^{\mathrm {T} }.$

$C_{n}$是多項分佈的協方差矩陣，在特殊情況下分佈參數為$k=n$，$p_{1}=p_{2}=\cdots =p_{n}={\frac {1}{n}}$。