多值函數

多值函數（英語：multivalued function, multifunction）為一數學名詞，是一種二元關係。其中，定義域 $X$ 中的每一個元素都對應對應域 $Y$ 中的至少一個元素。

此名詞來源於複分析，例如復對數函數便是其中一例。函數原本的定義中不允許 $X$ 的元素對應多於一個 $Y$ 中的元素；但複分析中，為了作區分，將原來定義的函數稱為單值函數。

有些多值函數擁有主分支，而使得多值函數可以轉化為單值函數。此時該單值函數的值稱為主值（principal value）。

例子

每個大於0的實數都有二個實數的平方根，例如4的平方根是{−2, +2}.，0的平方根是0。
一般而言，許多不為0的複數都有二個平方根、三個立方根、n個n次方根，只有0的n次方根為0。
複對數函數是多值函數。 $\log(a+bi)$ （ $a$ 和 $b$ 為實數）的值是 $\log {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+i\arg(a+bi)+2\pi ni$ ，其中 $n$ 為任意整數。 .
反三角函數為週期性的多值函數，例如

\tan \left({\textstyle {\frac {\pi }{4}}}\right)=\tan \left({\textstyle {\frac {5\pi }{4}}}\right)=\tan \left({\textstyle {\frac {-3\pi }{4}}}\right)=\tan \left({\textstyle {\frac {(2n+1)\pi }{4}}}\right)=\cdots =1.

因此，arctan(1)在本質上會對應許多數值：

π

/4, 5

π

/4, −3

π

/4等。若限制其tan x的定義域在−

π

/2 < x <

π

/2，此區域下tan x為單純遞增，則arctan(x)的值域會在−

π

/2 < y <

π

/2。這種限定區域下的值稱為主值（英語：Principal value）。

不定積分也可以視為是多值函數，函數f的不定積分是一個函數的集合，集合中的每一個函數微分後都是f，因此不定積分存在一積分常數，因為積分常數不論本身數值多少，微分後都是0。

所有的多值函數都是來自非單射的函數，因為原始函數無法完全保存其輸入的資訊，因此函數也就不可逆。

複變函數的多值函數會有分支點（英語：branch point），例如n次方根以及對數函數中，0是分支點，而arctan函數中，虛數單位i和−i為分支點。利用分支點可以限定範圍的方式，將這些函數重新定義為單值函數。若是在實函數的例子中，這個限制的區域一般會稱為函數的主分支。

參考資料

C. D. Aliprantis and K. C. Border, Infinite dimensional analysis. Hitchhiker's guide, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2006
J. Andres and L. Górniewicz, Topological Fixed Point Principles for Boundary Value Problems, Kluwer Academic Publishers, 2003
J.-P. Aubin and A. Cellina, Differential Inclusions, Set-Valued Maps And Viability Theory, Grundl. der Math. Wiss. 264, Springer - Verlag, Berlin, 1984
J.-P. Aubin and H. Frankowska, Set-Valued Analysis, Birkhäuser, Basel, 1990
K. Deimling, Multivalued Differential Equations, Walter de Gruyter, 1992
A. Geletu, Introduction to Topological Spaces and Set-Valued Maps (Lecture notes), Ilmenau University of Technology, 2006
H. Kleinert, Multivalued Fields in Condensed Matter, Electrodynamics, and Gravitation, World Scientific (Singapore, 2008) (also available online（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）)
H. Kleinert, Gauge Fields in Condensed Matter, Vol. I: Superflow and Vortex Lines, 1–742, Vol. II: Stresses and Defects, 743–1456, World Scientific, Singapore, 1989 (also available online: Vol. I（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） and Vol. II（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）)
D. Repovš and P.V. Semenov, Continuous Selections of Multivalued Mappings（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 1998
E. U. Tarafdar and M. S. R. Chowdhury, Topological methods for set-valued nonlinear analysis（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, World Scientific, Singapore, 2008
F.-C. Mitroi, K. Nikodem, S. Wąsowicz, Hermite-Hadamard inequalities for convex set-valued functions, Demonstratio Mathematica, Vol. 46, Issue 4(2013), pp.655-662.

多值函數

例子

相關條目

參考資料