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此條目頁的主題是數學當中的一種函數或運算。關於電子系統設計與信號傳輸中的差分傳輸,請見「
差分信號」。
差分,又名差分函數或差分運算,一般是指有限差分(英語:Finite difference),是數學中的一個概念,將原函數
映射到
。差分運算,相應於微分運算,是微積分中重要的一個概念。
一階差分的差分為二階差分,二階差分的差分為三階差分,其餘類推。記:
為 的 階差分。
如果
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根據數學歸納法,有
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其中, 為二項式系數。
特別的,有
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前向差分有時候也稱作數列的二項式轉換
《自然哲學的數學原理》的第三編「宇宙體系」的引理五的圖例。這裏在橫坐標上有6個點H,I,K,L,M,N,對應着6個值A,B,C,D,E,F,生成一個多項式函數對這6個點上有對應的6個值,計算任意點S對應的值R。牛頓給出了間距為單位值和任意值的兩種情況。
牛頓插值公式也叫做牛頓級數,由「牛頓前向差分方程」的項組成,得名於伊薩克·牛頓爵士,最早發表為他在1687年出版的《自然哲學的數學原理》中第三編「宇宙體系」的引理五[3],此前詹姆斯·格雷果里於1670年和牛頓於1676年已經分別獨立得出這個成果。一般稱其為連續泰勒展開的離散對應。
當 值間隔為單位步長 時,有:
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這成立於任何多項式函數和大多數但非全部解析函數。這裏的表達式
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是二項式系數,其中的 是「下降階乘冪」(另一種常見的標記法為 ),空積 被定義為 。這裏的 是「前向差分」的特定情況,即間距 。
為了展示牛頓的這個公式是如何使用的,舉例數列 1, 4, 9,16...的前幾項,可以找到一個多項式重新生成這些值,首先計算一個差分表,接着將對應於x0(標示了下劃線)的這些差分代換入公式,
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對於x值間隔為非一致步長的情況,牛頓計算均差,在間隔一致但非單位量時,即上述前向差分的一般情況,插值公式為:
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在最終公式中hk被消去掉了,對於非一致步長的情況則不會出現階乘。