泛函分析中,得名於斯特凡·巴拿赫巴拿赫代數實數複數(或非阿基米德完備賦范域)上的結合代數A,同時也是巴拿赫空間,即在範數導出的度量完備賦范空間。範數要滿足

這確保了乘法運算連續

若巴拿赫代數對乘法有範數為1的單位元,則稱其是含么的(unital)。若其乘法是可交換的,則稱其可交換。任意巴拿赫代數A(無論有無單位元)都可等距同構地嵌入含么巴拿赫代數,從而形成理想。通常會先驗地假設所考慮的代數是含么的:因為可以先考慮,再在原始代數中應用結果,來發展許多理論。不過並非總如此,例如無法在巴拿赫代數中定義不含單位元的三角函數

實巴拿赫代數的理論可能異於復巴拿赫代數,例如非平凡復巴拿赫代數中元素的不會是空的,而實巴拿赫代數中,某些元素的譜可能是空的。

巴拿赫代數也可以定義在P進數域上。這是P進數分析的一部分。

例子

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巴拿赫代數的典型例子是 ,即定義在局部緊豪斯多夫空間X在無窮遠處消失的(復值)連續函數空間。若且唯若X緊空間 含么。共軛複數對合,因此 實際上是C*-代數。更一般地說,C*-代數都是巴拿赫代數。

  • 實數(或複數)集是巴拿赫代數,範數為絕對值
  • 若給所有實數或複數n階方陣集合配備服從乘法範數,就成為含么巴拿赫代數。
  • 取巴拿赫空間 (或 ),範數為 ,並定義乘法分量形式: 
  • 四元數形成了4維實巴拿赫代數,範數為四元數的絕對值。
  • 定義在某集合(具有逐點乘和上確範數)上的有界實值或復值函數的代數是含么巴拿赫代數。
  • 局部緊空間(具有逐點乘和上確範數)上的有界連續實值或復值函數的代數是巴拿赫代數。
  • 巴拿赫空間E(以函數複合為乘法,以算子範數為範數)上的連續線性算子的代數是含么巴拿赫代數。E上所有緊算子的集合是巴拿赫代數,也是閉理想。若 ,則沒有單位元。[1]
  • G局部緊豪斯多夫拓撲群 是其哈爾測度,則G上所有 可積函數的巴拿赫空間 卷積 下成為巴拿赫代數。[2]
  • 一致代數:巴拿赫代數,是復代數 的子代數,具有上確範數,包含常數並分離了X的點(必須是緊豪斯多夫空間)。
  • 自然巴拿赫函數代數:一致代數,其所有特徵都在X的點上取值。
  • C*-代數:某希爾伯特空間上有界算子的代數的閉*-子代數,是巴拿赫代數。
  • 測度代數:包含某局部緊群上所有拉東測度的巴拿赫代數,測度之積由卷積給出。[2]
  • 四元數代數 是實巴拿赫代數,不是復代數,因為四元數的中心是實數。
  • 仿射體代數(affinoid algebra)是非阿基米德域上的一種巴拿赫代數,是剛性解析幾何的基本構件。

性質

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一些由冪級數定義的初等函數可在任意含么巴拿赫代數中定義,如指數函數三角函數,及更一般的任意整函數(特別地,指數映射可用於定義抽象索引群)。幾何級數公式在一般含么巴拿赫代數中仍有效。二項式定理對巴拿赫代數中兩個交換元也成立。 任何含么巴拿赫代數中的可逆元集合都是開集,其上的逆運算是連續的(因此是同胚),所以形成了乘法下的拓撲群[3]

若巴拿赫代數有么元 ,則 不可能是交換子;即 。這是因為 若不是 ,則具有相同的

上述例子給出的各種函數代數具有與標準代數(如實數)迥異的性質,例如:

  • 除代數的實巴拿赫代數同構於實數、複數或四元數。因此,只有是除代數的復巴拿赫代數是復形。(這就是蓋爾范德-馬祖爾定理
  • 沒有零除子的含么實巴拿赫代數的主理想都是的,代數同構於實數、複數與四元數。[4]
  • 沒有零除子的交換實含么諾特巴拿赫代數同構於實數或複數。
  • 交換實含么諾特巴拿赫代數(可有零除子)是有限維的。
  • 巴拿赫代數中的永久奇異元是零的拓撲除子,也就是說,考慮巴拿赫代數A的擴張B,使一些在給定代數A中奇異的元素,在B中有乘法逆元。A中零的拓撲除子在A的任意巴拿赫擴張B中都是永久奇異的。

譜理論

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複數域上的含么巴拿赫代數為譜理論提供了一個一般環境。元素 的譜記作 ,包含所有使 A中不可逆的復純量 。任意元素x的譜是 中半徑為 、圓心在 的閉圓盤的閉子集,於是也是的。另外,元素x的譜 也非空,滿足譜半徑公式:  

給定 全純函數微積分允許為在 的鄰域全純的任意函數f定義 ;此外,譜映射定理成立:[5]  

若巴拿赫代數A是復巴拿赫空間X上的有界線性算子的代數 (例如方陣的代數),則A中的譜與算子理論中的譜重合。對 (緊豪斯多夫空間X),可見:  

C*-代數的正規元素x的範數與譜半徑重合,這推廣了正規算子的類似事實。

A為復含么巴拿赫代數,當中非零元x都可逆(是除代數)。 ,都有 使  不可逆(因為a的譜非空),於是 代數A自然同構於 (蓋爾范德-馬祖爾定理的複數情形)。

理想與特徵

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A 上的含么交換巴拿赫代數。由於A是含么交換環,A的不可逆元屬於A的某極大理想。由於極大理想 是閉的, 是巴拿赫代數且是域,且由蓋爾范德-馬祖爾定理,A的最大理想集與非零同胚  之間有雙射。集合 稱作A的「結構空間」或「特徵空間」,元素為「特徵」。

特徵 A上的線性泛函,是乘法函數( 且滿足 。)每個特徵都是 且自動連續,因為特徵的核是最大理想,是閉的;而且範數(即算子範數)為1。裝備了A上逐點收斂拓撲(即由 的弱*-拓撲誘導的拓撲)後,特徵空間 是豪斯多夫緊空間。

    q在 x蓋爾范德表示,定義如下: 是連續函數 ,由 給出。 的譜也是作為緊空間 上復連續函數的代數 的元素的譜。顯式地寫,  

作為代數,若且唯若含么交換巴拿赫代數的蓋爾范德表示具有平凡核,其是半單的(即其雅各布森根為零)。這種代數的重要例子是交換C*-代數。事實上,若A是交換含么C*-代數,則其蓋爾范德表示是 間的等距*-同構。[a]

巴拿赫*-代數

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巴拿赫*-代數A複數域上的巴拿赫代數,以及映射 ,滿足如下性質:

  1.  (於是映射是對合
  2.  
  3.  ,其中 表示 共軛複數
  4.  

也就是說,巴拿赫*-代數是 上的巴拿赫代數,也是*-代數

在大多數自然例子中,還需要對合是等距的,即   有人把這性質納入了巴拿赫*-代數的定義。

巴拿赫*-代數滿足 C*-代數

另見

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註釋

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  1. ^ 證明:由於交換C*-代數的元素都是正規的,所以蓋爾范德表示是等距的;特別是,其是單射,像是閉的。蓋爾范德表示的像由魏爾施特拉斯逼近定理是稠密的。

參考文獻

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  1. ^ Conway 1990,Example VII.1.8.
  2. ^ 2.0 2.1 Conway 1990,Example VII.1.9.
  3. ^ Conway 1990,Theorem VII.2.2.
  4. ^ García, Miguel Cabrera; Palacios, Angel Rodríguez. A New Simple Proof of the Gelfand-Mazur-Kaplansky Theorem. Proceedings of the American Mathematical Society. 1995, 123 (9): 2663–2666 [2023-12-22]. ISSN 0002-9939. JSTOR 2160559. doi:10.2307/2160559. (原始內容存檔於2023-12-25). 
  5. ^ Takesaki 1979,Proposition 2.8.