循環小數,也稱為無盡循環小數,是從小數部分的某一位起,一個數字或幾個數字,依次不斷地重複出現的小數。

循環小數
1
7
=0.142857142857…
各式各樣的
基本

延伸
其他

圓周率
自然對數的底
虛數單位
無限大

定義

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循環小數都為有理數小數表示形式,例:

 

 

 

性質

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  • 一個分母為n的循環小數的循環節位數最多不超過n-1位。若該數為質數,循環節位數一定是N-1的因數(參見:費馬偽質數)。為了證明這點,可用反證法。假設 的循環節為m,令m>n。將1/n乘以10,循環往復操作,會得到不同的餘數。根據餘數定義,餘數的個數等於分母本身。又因為當餘數為0的時候是整數而非循環小數,所以只有n-1種循環節。若長度為m位,則必有(m-n+1)種循環節無法輪替,所以一個分母為n的循環小數的循環節位數最多不超過n-1位。
  • 根據分數 的情況分開討論
1.除數a為 的倍數時, 有max(m,n)個不循環位數,其中 為任意自然數, 為非 之其他數。
2.如果 ,a不是2或5的倍數,並且a與b互質,那麼存在一個正整數e,e為 的循環節位數,而e= [1]
 表示 可以整除a,或稱 與1同餘)
事實上以該參考文獻的定理一公式推導式子: 來看, 也成立,例如  ,兩者循環小數一致,因為 ,只差別在商,餘數皆為1(同餘)故成立。
3.承接以上兩點,當除數a可以質因數標準分解式表示成  時,會有max(m,n)個不循環位數,和 個循環節位數。
其中, ,  ,⋯, 分別各有e1,e2,...,en個循環節位數,存在一個最小公倍數 e1,e2,...,en 
例: 的循環節個數?
答:前三位不循環(2 和 5 的最高次方為 3),循環節個數是 48(因為 的循環節位數為1,7的循環節位數為6,17的循環節位數為16,[1,6,16]=48)[2]

化為分數的方法

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0.xxx...=x/((10^(上取(log(x))))-1) (可能未約至最簡)

(⬇另一方法)

  1. 先看有幾位「非循環節位數( )」和「循環節位數( )」,算出後,將 擺於「分母」。
  2. 分子」則是將「非循環節部分」和「循環節部分」併為一個數字,將其減去「非循環節部分」,即 ,詳細公式如下。
  3. 公式: 
  4. 原理:
    1.  
    2.  ──①式。
    3.  ──②式。
    4. ②-①⇒ 
    5.  
  5. 範例: 
    1.  
    2.   
    3. 兩式相減得  
    4.  

計算方法

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利用短除法可以將分數(有理數 )轉化為循環小數。

例如 可以用短除法計算如下:

7|3.00000000000000000
  0.42857142857142857...

表示方法

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在不同的國家地區對循環小數有不同的表示習慣。

 

  • 使用「上點」表示,如:

 

  • 使用「大括號」表示,如:

 

缺點

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不唯一性

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使用循環小數表示有理數的缺點在於表示方式的不唯一性,例如 

進位制系統密切相關

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由於循環小數與進位制系統密切相關,使得一些簡單的有理數在循環小數表示法中的表示形式相當複雜。如: 

但在某些進位制當中反而因為循環節較短,使得看起來相當簡單。如 

又或 

參考資料

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  1. ^ 康明昌. 循環小數 (PDF). 數學傳播. 2001年9月, 25 (3) [2014-12-28]. (原始內容 (PDF)存檔於2021-11-04). 
  2. ^ 質數循環節的位數 (PDF). [2008-08-18]. (原始內容 (PDF)存檔於2017-01-12). 

參見

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外部連結

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