截面 (纖維叢)

在數學之拓撲學領域中，拓撲空間 B 上纖維叢 π: E → B 的一個截面或橫截面（section 或 cross section），是一個連續映射 s : B → E，使得對 x 屬於 B 有 π(s(x))=x。

從函數圖像開始

截面是函數圖像概念的某種推廣。一個函數 g : X → Y 的圖像可以等價於取值為 X 與 Y 的笛卡兒積的一個函數：

f(x)=(x,g(x))\in E,\quad f:X\to E.\,

一個截面是什麼是一個函數圖像的抽象刻劃。令 π : E → X 是到第一個分量的投影：π(x,y) = x，則一個圖是任何使得 π(f(x))=x 的函數。

纖維叢的語言保證了截面的概念可以推廣到當 E 不必為一個笛卡兒積的情形。如果 π : E → B 是一個纖維叢，則一個截面是在每個纖維中選取一個點 f(x) 。條件 π(f(x)) = x 不過意味着在點 x 處的截面必須在 x 上（見右上圖）。

例如，當 E 是一個向量叢，E 的一個截面是在每一點 x ∈ B 上的向量空間 E_x 中有一個元素。特別地，光滑流形 M 上一個向量場是在 M 的每一點選取一個切向量：這是 M 的切線束的一個截面。類似地，M 上一個 1-形式是餘切叢的一個截面。

局部截面

纖維叢一般不一定有如上的整體截面，從而定義局部截面也是有用的。纖維叢的一個局部截面（local section）是一個連續函數 f : U → E，其中 U 是 B 的一個開集，並滿足 π(f(x))=x 對所有 x ∈ U。如果 (U, φ) 是 E 的一個局部平凡化，這裏 φ 是從 π^-1(U) 到 U × F 一個同胚（這裏 F 是纖維），在 U 上的整體截面總存在且一一對應於從 U 到 F 的連續函數。局部截面形成了 B 上一個層，稱為 E 的截面層（sheaf of sections）。

一個纖維叢 E 在 U 上的連續截面有時記成 C(U,E)，而 E 的整體截面通常記做 Γ(E) 或 Γ(B,E)。

截面在同倫論與代數拓撲中都有研究，其中一個主要目標是確定整體截面的存在性或不存在性。這導向了層餘調和示性類理論。例如，一個主叢有一個整體截面當且僅當它是平凡的。另一方面，一個向量叢總有一個整體截面，即零截面。但只有當它的歐拉類為零時，才有在任何地方都不為零的整體截面。關於向量場的零點可參見龐加萊-霍普夫定理。

光滑截面

截面，特別是對主叢和向量叢，是微分幾何中的重要工具。在這種情形，底空間 B 是一個光滑流形 M，而 E 總假設是 M 上一個光滑纖維叢（即 E 是一個光滑流形且投影 π: E → M 是一個光滑映射）。此時，我們考慮 E 在一個開集 U 上的光滑截面，記做 C^∞(U,E)。在幾何分析中，考慮具有中等正則性的截面也是有用的。例如 C^k 截面，或滿足赫爾德條件或索伯列夫空間的截面。

另見

參考文獻

Norman Steenrod, The Topology of Fibre Bundles, Princeton University Press (1951). ISBN 0-691-00548-6.
David Bleecker, Gauge Theory and Variational Principles, Addison-Wesley publishing, Reading, Mass (1981). ISBN 0-201-10096-7.

外部連結

Fiber Bundle, PlanetMath
埃里克·韋斯坦因. Fiber Bundle. MathWorld.