星形線

星形線（astroid）或稱為四尖瓣線（tetracuspid），是一個有四個尖點的內擺線，也屬於超橢圓的一種。所有星形線皆可以依以下的方程式比例縮放而得^[1]：

x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}.\,

其英文名稱得名自希臘文的「星星」，星形線幾乎和橢圓的漸屈線相同。

若讓一個半徑為1/4的圓在一個半徑為1的圓內部，延著圓的圓周旋轉，小圓圓周上的任一點形成的軌跡即為星形線。星形線的參數方程為^[1]：

x=a\cos ^{3}\theta ,\qquad y=a\sin ^{3}\theta .

星形線是一個幾何虧格（英語：geometric genus）為0代數曲線的實數軌跡，其方程式如下：

(x^{2}+y^{2}-1)^{3}+27x^{2}y^{2}=0.\,

因此星形線為六次曲線，在實數平面上有四個尖瓣的奇點，分別是星形線的四個頂點，在無限遠處還有二個複數的尖瓣的奇點，四個重根的複數奇點，因此星形線共有十個奇點。

星形線的對偶曲線（英語：Dual curve）是十字架形曲線（英語：cruciform curve），其方程式為 $\textstyle x^{2}y^{2}=x^{2}+y^{2}.$ 。星形線的漸屈線為另一個二倍大的漸屈線。

一個半徑為 $a$ 之圓的內擺線構成的星形線，其面積為 ${\frac {3}{8}}\pi a^{2}$ ，周長為6a。

參考資料

^ ^1.0 ^1.1 清華大學數學科學系. 微积分. 北京: 清華大學出版社有限公司. 2003: 47–48 [2012-12-21]. ISBN 7302067856. （原始內容存檔於2019-05-28）.

J. Dennis Lawrence. A catalog of special plane curves. Dover Publications. 1972: 4–5,34–35,173–174. ISBN 0-486-60288-5.
Wells D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. New York: Penguin Books. 1991: 10–11. ISBN 0-14-011813-6.
R.C. Yates. Astroid. A Handbook on Curves and Their Properties. Ann Arbor, MI: J. W. Edwards. 1952: 1 ff.