時頻分析轉換關係

在時間與頻率的分析領域中，有不少的訊號的單純使用頻域或時域表示，而是同時使用時域與頻域來表示。

有幾種方法或轉換被里昂·柯恩統整組織被稱為"時頻分析"，最常被使用的方法稱為「二次」或「雙線性時頻分析」，而此類方法中，最被廣泛使用的方法中以韋格納分佈為其中之一，其他的時頻分佈則被稱為維格納分佈的摺積版。另一個被廣泛使用的方法為頻譜圖，為「短時距傅立葉轉換」的平方，頻譜圖有着平方必為正的優點，容易由圖理解，但有着不可逆的缺點，如短時距傅立葉轉換不可逆計算，無法從頻譜圖找回原信號。而驗證這些理論與定義驗證可以參考「二次式時頻分佈理論」。

本文主題雖是訊號處理領域，但是藉由量子力學的相空間來推導某些分佈從A分佈轉換至B分佈的過程。一個信號在相同的狀況下，給與不同的時頻分佈表示方式，透過簡單的平滑器或濾波器，計算出其他分佈。

一般化

如果我們用變數ω=2πf，然後，借用量子力學領域中使用的符號，就可以顯示該時間-頻率表示，如維格納分佈函數和其它雙線性時間-頻率分佈，可表示為

$C(t,\omega )={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iiint s^{*}\left(u-{\dfrac {1}{2}}\tau \right)s\left(u+{\dfrac {1}{2}}\tau \right)\phi (\theta ,\tau )e^{-j\theta t-j\tau \omega +j\theta u}\,du\,d\tau \,d\theta ,$ (1)

$\phi (\theta ,\tau )$為一定義其分佈及特性之二維函數。

維格納分佈的核為一。但在一般型式裏任何分佈的核為一沒有任何的意義，在其他狀況下維格納分佈的核應為其他結果。

特徵方程式

特徵方程式為雙傅立葉轉換，從方程式(1)可以得到

$C(t,\omega )={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iint M(\theta ,\tau )e^{-j\theta t-j\tau \omega }\,d\theta \,d\tau$ (2)

${\begin{alignedat}{2}M(\theta ,\tau )&=\phi (\theta ,\tau )\int s^{*}\left(u-{\dfrac {1}{2}}\tau \right)s\left(u+{\dfrac {1}{2}}\tau \right)e^{j\theta u}\,du\\&=\phi (\theta ,\tau )A(\theta ,\tau )\\\end{alignedat}}$ (3)

$A(\theta ,\tau )$ 為對稱模糊函數，特徵方程式也可易被稱為廣義模糊函式。

分佈之間轉換關係

假設有兩個分佈 $C_{1}$ and $C_{2}$,個別對應核為 $\phi _{1}$ and $\phi _{2}$，特徵方程式為

$M_{1}(\phi ,\tau )=\phi _{1}(\theta ,\tau )\int s^{*}\left(u-{\dfrac {1}{2}}\tau \right)s\left(u+{\dfrac {1}{2}}\tau \right)e^{j\theta u}\,du$ (4)

$M_{2}(\phi ,\tau )=\phi _{2}(\theta ,\tau )\int s^{*}\left(u-{\dfrac {1}{2}}\tau \right)s\left(u+{\dfrac {1}{2}}\tau \right)e^{j\theta u}\,du$ (5)

方程式(4)、(5)相除得

$M_{1}(\phi ,\tau )={\dfrac {\phi _{1}(\theta ,\tau )}{\phi _{2}(\theta ,\tau )}}M_{2}(\phi ,\tau )$ (6)

方程式(6)相當重要，其結果使其連接特徵方程式在有線區域內之核不為零。

欲獲得兩分佈之間的關係，需使用雙傅立葉轉換並使用方程式(2)

$C_{1}(t,\omega )={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iint {\dfrac {\phi _{1}(\theta ,\tau )}{\phi _{2}(\theta ,\tau )}}M_{2}(\theta ,\tau )e^{-j\theta t-j\tau \omega }\,d\theta \,d\tau$ (7)

用$C_{2}$來表示$M_{2}$

$C_{1}(t,\omega )={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iiiint {\dfrac {\phi _{1}(\theta ,\tau )}{\phi _{2}(\theta ,\tau )}}C_{2}(t,\omega ^{'})e^{j\theta (t^{'}-t)+j\tau (\omega ^{'}-\omega )}\,d\theta \,d\tau \,dt^{'}\,d\omega ^{'}$ (8)

可改寫成

$C_{1}(t,\omega )=\iint g_{12}(t^{'}-t,\omega '-\omega )C_{2}(t,\omega ')\,dt^{'}\,d\omega '$ (9)

其中，

$g_{12}(t,\omega )={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iint {\dfrac {\phi _{1}(\theta ,\tau )}{\phi _{2}(\theta ,\tau )}}e^{j\theta t+j\tau \omega }\,d\theta \,d\tau$ (10)

頻譜與其他雙線性相互關係

我們專注於其中一個從任意代表性的頻譜轉換的情況，在方程式(9)中，$C_{1}$為頻譜圖而$C_{2}$ 為任意數，為了簡化符號使用以下表示，$\phi _{SP}=\phi _{1}$, $\phi =\phi _{2}$, $g_{SP}=g_{12}$，可被表示為

$C_{SP}(t,\omega )=\iint g_{SP}(t^{'}-t,\omega ^{'}-\omega )C(t,\omega ^{'})\,dt^{'}\,d\omega ^{'}$ (11)

頻譜圖的核為

${\begin{alignedat}{3}g_{SP}(t,\omega )&={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iint {\dfrac {A_{h}(-\theta ,\tau )}{\phi (\theta ,\tau )}}e^{j\theta t+j\tau \omega }\,d\theta \,d\tau \\&={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iiint {\dfrac {1}{\phi (\theta ,\tau )}}h^{*}(u-{\dfrac {1}{2}}\tau )h(u+{\dfrac {1}{2}}\tau )e^{j\theta t+j\tau \omega -j\theta u}\,du\,d\tau \,d\theta \\&={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iiint h^{*}(u-{\dfrac {1}{2}}\tau )h(u+{\dfrac {1}{2}}\tau ){\dfrac {\phi (\theta ,\tau )}{\phi (\theta ,\tau )\phi (-\theta ,\tau )}}e^{-j\theta t+j\tau \omega +j\theta u}\,du\,d\tau \,d\theta \\\end{alignedat}}$ (12)

令$\phi (-\theta ,\tau )\phi (\theta ,\tau )=1$, $g_{SP}(t,\omega )$為窗函數，然而在$-\omega$狀況下得

$g_{SP}(t,\omega )=C_{h}(t,-\omega )$ (13)

使其核滿足 $\phi (-\theta ,\tau )\phi (\theta ,\tau )=1$

$C_{SP}(t,\omega )=\iint C_{s}(t^{'},\omega ^{'})C_{h}(t^{'}-t,\omega ^{'}-\omega )\,dt^{'}\,d\omega ^{'}$ (14)

其核亦滿足$\phi (-\theta ,\tau )\phi (\theta ,\tau )=1$

其證明可見Janssen[4]. 當$\phi (-\theta ,\tau )\phi (\theta ,\tau )$不等於1時，

$C_{SP}(t,\omega )=\iiiint G(t^{''},\omega ^{''})C_{s}(t^{'},\omega ^{'})C_{h}(t^{''}+t^{'}-t,-\omega ^{''}+\omega -\omega ^{'})\,dt^{'}\,dt^{''}\,d\omega ^{\,}d\omega ^{''}$ (15)

$G(t,\omega )={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iint {\dfrac {e^{-j\theta t-j\tau \omega }}{\phi (\theta ,\tau )\phi (-\theta ,\tau )}}\,d\theta \,d\tau$ (16)