時頻分析轉換關係

在時間與頻率的分析領域中,有不少的訊號的單純使用頻域或時域表示,而是同時使用時域與頻域來表示。

有幾種方法或轉換被里昂·柯恩統整組織被稱為"時頻分析",[1][2][3]最常被使用的方法稱為「二次」或「雙線性時頻分析」,而此類方法中,最被廣泛使用的方法中以韋格納分佈為其中之一,其他的時頻分佈則被稱為維格納分佈的摺積版。另一個被廣泛使用的方法為頻譜圖,為「短時距傅立葉轉換」的平方,頻譜圖有着平方必為正的優點,容易由圖理解,但有着不可逆的缺點,如短時距傅立葉轉換不可逆計算,無法從頻譜圖找回原信號。而驗證這些理論與定義驗證可以參考「二次式時頻分佈理論」。[4]

本文主題雖是訊號處理領域,但是藉由量子力學的相空間來推導某些分佈從A分佈轉換至B分佈的過程。一個信號在相同的狀況下,給與不同的時頻分佈表示方式,透過簡單的平滑器或濾波器,計算出其他分佈。

一般化

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如果我們用變數ω=2πf,然後,借用量子力學領域中使用的符號,就可以顯示該時間-頻率表示,如維格納分佈函數和其它雙線性時間-頻率分佈,可表示為

  (1)

 為一定義其分佈及特性之二維函數。

維格納分佈的核為一。但在一般型式裏任何分佈的核為一沒有任何的意義,在其他狀況下維格納分佈的核應為其他結果。

特徵方程式

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特徵方程式為雙傅立葉轉換,從方程式(1)可以得到

  (2)
  (3)

  為對稱模糊函數,特徵方程式也可易被稱為廣義模糊函式。

分佈之間轉換關係

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假設有兩個分佈   and  ,個別對應核為   and  ,特徵方程式為

  (4)
  (5)

方程式(4)、(5)相除得

  (6)

方程式(6)相當重要,其結果使其連接特徵方程式在有線區域內之核不為零。

欲獲得兩分佈之間的關係,需使用雙傅立葉轉換並使用方程式(2)

  (7)

 來表示 

  (8)

可改寫成

  (9)

其中,

  (10)

頻譜與其他雙線性相互關係

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我們專注於其中一個從任意代表性的頻譜轉換的情況,在方程式(9)中, 為頻譜圖而  為任意數,為了簡化符號使用以下表示, ,  ,  ,可被表示為

  (11)

頻譜圖的核為

  (12)

 ,  為窗函數,然而在 狀況下得

  (13)

使其核滿足  

  (14)

其核亦滿足 

其證明可見Janssen[4]. 當 不等於1時,

  (15)
  (16)

參考資料

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  1. ^ L. Cohen, "Generalized phase-space distribution functions," Jour. Math. Phys., vol.7, pp. 781–786, 1966.
  2. ^ L. Cohen, "Quantization Problem and Variational Principle in the Phase Space Formulation of Quantum Mechanics," Jour. Math. Phys., vol.7, pp. 1863–1866, 1976.
  3. ^ A. J. E. M. Janssen, "On the locus and spread of pseudo-density functions in the time frequency plane," Philips Journal of Research, vol. 37, pp. 79–110, 1982.
  4. ^ B. Boashash, 「Theory of Quadratic TFDs」, Chapter 3, pp. 59–82, in B. Boashash, editor, Time-Frequency Signal Analysis & Processing: A Comprehensive Reference, Elsevier, Oxford, 2003; ISBN 0-08-044335-4.