时频分析转换关系

在时间与频率的分析领域中,有不少的讯号的单纯使用频域或时域表示,而是同时使用时域与频域来表示。

有几种方法或转换被里昂·柯恩统整组织被称为"时频分析",[1][2][3]最常被使用的方法称为“二次”或“双线性时频分析”,而此类方法中,最被广泛使用的方法中以韦格纳分布为其中之一,其他的时频分布则被称为维格纳分布的折积版。另一个被广泛使用的方法为频谱图,为“短时距傅立叶转换”的平方,频谱图有着平方必为正的优点,容易由图理解,但有着不可逆的缺点,如短时距傅立叶转换不可逆计算,无法从频谱图找回原信号。而验证这些理论与定义验证可以参考“二次式时频分布理论”。[4]

本文主题虽是讯号处理领域,但是借由量子力学的相空间来推导某些分布从A分布转换至B分布的过程。一个信号在相同的状况下,给与不同的时频分布表示方式,透过简单的平滑器或滤波器,计算出其他分布。

一般化

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如果我们用变数ω=2πf,然后,借用量子力学领域中使用的符号,就可以显示该时间-频率表示,如维格纳分布函数和其它双线性时间-频率分布,可表示为

  (1)

 为一定义其分布及特性之二维函数。

维格纳分布的核为一。但在一般型式里任何分布的核为一没有任何的意义,在其他状况下维格纳分布的核应为其他结果。

特征方程式

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特征方程式为双傅立叶转换,从方程式(1)可以得到

  (2)
  (3)

  为对称模糊函数,特征方程式也可易被称为广义模糊函式。

分布之间转换关系

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假设有两个分布   and  ,个别对应核为   and  ,特征方程式为

  (4)
  (5)

方程式(4)、(5)相除得

  (6)

方程式(6)相当重要,其结果使其连接特征方程式在有线区域内之核不为零。

欲获得两分布之间的关系,需使用双傅立叶转换并使用方程式(2)

  (7)

 来表示 

  (8)

可改写成

  (9)

其中,

  (10)

频谱与其他双线性相互关系

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我们专注于其中一个从任意代表性的频谱转换的情况,在方程式(9)中, 为频谱图而  为任意数,为了简化符号使用以下表示, ,  ,  ,可被表示为

  (11)

频谱图的核为

  (12)

 ,  为窗函数,然而在 状况下得

  (13)

使其核满足  

  (14)

其核亦满足 

其证明可见Janssen[4]. 当 不等于1时,

  (15)
  (16)

参考资料

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  1. ^ L. Cohen, "Generalized phase-space distribution functions," Jour. Math. Phys., vol.7, pp. 781–786, 1966.
  2. ^ L. Cohen, "Quantization Problem and Variational Principle in the Phase Space Formulation of Quantum Mechanics," Jour. Math. Phys., vol.7, pp. 1863–1866, 1976.
  3. ^ A. J. E. M. Janssen, "On the locus and spread of pseudo-density functions in the time frequency plane," Philips Journal of Research, vol. 37, pp. 79–110, 1982.
  4. ^ B. Boashash, “Theory of Quadratic TFDs”, Chapter 3, pp. 59–82, in B. Boashash, editor, Time-Frequency Signal Analysis & Processing: A Comprehensive Reference, Elsevier, Oxford, 2003; ISBN 0-08-044335-4.