有理數根定理
在代數中,有理根定理(或有理根檢驗、有理零定理、有理零檢驗或p/q定理)陳述了對多項式方程的有理數解的約束。
- is an integer factor of the constant term , and
- is an integer factor of the leading coefficient .
有理根定理是高斯定理關於多項式分解的一個特例(對於單個線性因子)。當主係數為.
應用
編輯該定理用於查找多項式的所有有理根(如果有的話)。它給出了有限數量的可能分數,可以檢查它們是否是根。如果找到有理根x = r ,則可以使用多項式長除法從多項式中分解出線性多項式(x – r) ,從而得到一個更低階的多項式,其根也是原始多項式的根。
三次方程
編輯一般三次方程
具有整數係數的問題在複平面上有三個解。如果有理根測試找不到有理解,那麼用代數表示解的唯一方法是使用立方根。但是,如果測試找到有理解r ,則分解出(x – r)會留下一個二次多項式,其兩個根是用二次公式找到的,是剩餘的兩個立方根,避免了立方根。
證明
編輯初等證明
編輯讓 和
假設P(p/q) = 0對於一些互質p, q ∈ ℤ :
要清除分母,將兩邊乘以qn :
將a0項移到右側並分解出左側的p會得到:
因此, p除a0qn 。但是p與q互質,因此與qn互質,因此根據歐幾里德引理, p必須整除剩餘的因子a0 。
另一方面,將an移到右側並在左側分解出q會產生:
如前所述,可以得出q整除an 。 [1]
使用高斯定理證明
編輯如果有一個非平凡的因子除以多項式的所有係數,則可以除以係數的最大公約數,從而獲得高斯定理意義上的本原多項式;這不會改變有理根的集合,只會加強可分性條件。該引理表示,如果Q[X]中的多項式因子,那麼它也會將Z[X]中的因子作為原始多項式的乘積。現在,任何有理根p/q都對應於多項式Q[X]中的 1 次因子,其原始表示則為qx − p ,假設p和q互質。但是qx − p的Z[X]中的任何倍數都有可被q整除的首項和可被p整除的常數項,這證明了命題。這個論點表明,更一般地, P的任何不可約因子都可以假設具有整數係數,並且前導係數和常數係數除以對應的係數 P
例子
編輯一、
編輯在多項式 中
任何完全約化的有理根都必須有一個能整除 1 的分子和一個能整除 2 的分母。因此,唯一可能的有理根是±1/2 和±1;由於這些都不等於多項式為零,因此它沒有有理根。
二、
編輯在多項式 中
唯一可能的有理根將具有除以 6 的分子和除以 1 的分母,將可能性限制為 ±1、±2、±3 和 ±6。其中,1、2 和 –3 使多項式等於零,因此是它的有理根。 (實際上,這些是它唯一的根,因為三次方只有三個根;一般來說,多項式可能有一些有理根和一些無理根。 )
三、
編輯多項式
的每個有理根
必須在以下符號表示的數字中:
這 8 個候選根x = r可以通過評估P(r)來測試,例如使用Horner 的方法。結果恰好有一個P(r) = 0 。
這個過程可能會更有效率:如果P(r) ≠ 0 ,它可以用來縮短剩餘候選者的列表。 [2]例如, x = 1不起作用,因為P(1) = 1 。代入x = 1 + t產生一個多項式 t具有常數項P(1) = 1 ,而t3的係數與x3的係數保持相同。應用有理根定理從而產生可能的根 , 以便
實根必須出現在兩個列表中,因此有理根候選列表已縮小到只有x = 2和x = 2/3 。
如果找到k ≥ 1有理根,Horner 方法也會產生一個n − k次多項式,其根與有理根一起恰好是原始多項式的根。如果沒有一個候選者是解決方案,則不可能有合理的解決方案。
筆記
編輯- ^ Arnold, D.; Arnold, G. Four unit mathematics. Edward Arnold. 1993: 120–121. ISBN 0-340-54335-3.
- ^ King, Jeremy D. Integer roots of polynomials. Mathematical Gazette. November 2006, 90: 455–456.
參考
編輯- Charles D. Miller、Margaret L. Lial、David I. Schneider:大學代數基礎。 Scott & Foresman/Little & Brown 高等教育,第 3 版 1990,ISBN 0-673-38638-4 ,頁數 216–221
- Phillip S. Jones, Jack D. Bedient:初等數學的歷史根源。多佛信使出版社 1998 年,ISBN 0-486-25563-8 ,頁數 116–117(online copy,第116頁,載於Google圖書)
- Ron Larson:微積分:一種應用方法。聖智學習 2007,ISBN 978-0-618-95825-2 ,第 23–24(online copy,第23頁,載於Google圖書)
外鏈
編輯- 埃里克·韋斯坦因. Rational Zero Theorem. MathWorld.
- RationalRootTheorem (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館) at PlanetMath
- Another proof that nth roots of integers are irrational, except for perfect nth powers (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館) by Scott E. Brodie
- The Rational Roots Test (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館) at purplemath.com