橢圓積分

在積分學中，橢圓積分最初出現於橢圓的弧長有關的問題中。朱利奧·法尼亞諾和歐拉是最早的研究者。現代數學將橢圓積分定義為可以表達為如下形式的任何函數 $f\,$的積分

$f(x)=\int _{c}^{x}R[t,{\sqrt[{}]{P(t)}}]\ dt\,\!$

其中$R\,$是其兩個參數的有理函數，$P\,$是一個無重根的$3\,$或$4\,$階多項式，而$c\,$是一個常數。

通常，橢圓積分不能用基本函數表達。這個一般規則的例外出現在$P\,$有重根的時候，或者是$R\,$,$\left(x,y\right)\,$沒有$y\,$的奇數冪時。但是，通過適當的簡化公式，每個橢圓積分可以變為只涉及有理函數和三個經典形式的積分。（也即，第一，第二，和第三類的橢圓積分）。

除下面給出的形式之外，橢圓積分也可以表達為勒讓德形式和Carlson對稱形式。通過對施瓦茨-克里斯托費爾映射的研究可以加深對橢圓積分理論的理解。歷史上，橢圓函數是作為橢圓積分的逆函數被發現的，特別是這一個：$F[{\textrm {sn}}\left(z;k\right);k]=z\,$其中${\textrm {sn}}\,$是雅可比正弦橢圓函數。

記法

橢圓積分通常表述為不同變量的函數。這些變量完全等價（它們給出同樣的橢圓積分），但是它們看起來很不相同。很多文獻使用單一一種標準命名規則。在定義積分之前，先來檢視一下這些變量的命名常規：

• $\alpha$ 模角;
• $k=\sin \alpha$ 橢圓模;
• $m=k^{2}=\sin ^{2}\alpha$ 參數;

上述三種常規完全互相確定。規定其中一個和規定另外一個一樣。橢圓積分也依賴於另一個變量，可以有如下幾種不同的設定方法：

• $\phi \,\!$ 幅度
• $x\,$ 其中$x=\sin \phi ={\textrm {sn}}\;u\,\!$
• $u\,$，其中$x={\textrm {sn}}\;u\,$而${\textrm {sn}}\,$是雅可比橢圓函數之一

規定其中一個決定另外兩個。這樣，它們可以互換地使用。注意$u\,$也依賴於$m\,$。其它包含$u\,$的關係有

$\cos \phi ={\textrm {cn}}\;u\,\!$

和

${\sqrt {1-m\sin ^{2}\phi }}={\textrm {dn}}\;u.\,\!$

後者有時稱為δ幅度並寫作$\Delta (\phi )={\textrm {dn}}\;u\,\!$。有時文獻也稱之為補參數，補模或者補模角。這些在四分周期中有進一步的定義。

第一類不完全橢圓積分

第一類不完全橢圓積分 $F\,$定義為

$F(\phi \setminus \alpha )=F(\phi |m)=\int _{0}^{\phi }{\frac {{\rm {d}}\theta }{\sqrt {1-(\sin \theta \sin \alpha )^{2}}}}.\,\!$

與此等價，用雅可比的形式，可以設 $x=\sin \phi ~,~t=\sin \theta \;\!$；則

$F(\phi \setminus \alpha )=F(x;k)=\int _{0}^{x}{\frac {{\rm {d}}t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}\,\!$

其中，假定任何有豎直條出現的地方，緊跟豎直條的變量是（如上定義的）參數；而且，當反斜槓出現的時候，跟着出現的是模角。 在這個意義下，$F(\sin \phi ;\sin \alpha )=F(\phi |\sin ^{2}\alpha )=F(\phi \setminus \alpha )~\,\!$，這裏的記法來自標準參考書Abramowitz and Stegun。

但是，還有許多不同的用於橢圓積分的記法。取值為橢圓積分的函數沒有（像平方根，正弦和誤差函數那樣的）標準和唯一的名字。甚至關於該領域的文獻也常常採用不同的記法。Gradstein, Ryzhik[1] （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, $Eq\,$.(8.111)]採用$F(\phi ,k)\,\!$。該記法和這裏的$F(\phi |k^{2})~\,\!$；以及下面的$E(\phi ,k)=E(\phi |k^{2})~\,\!$等價。

和上面的不同對應的是，如果從Mathematica語言翻譯代碼到Maple語言，必須將EllipticK函數的參數用它的平方根代替。反過來，如果從Maple翻到Mathematica，則參數應該用它的平方代替。Maple中的EllipticK($x$)幾乎和Mathematica中的EllipticK[$x^{2}$]相等；至少當$0<x<1\,$時是相等的。

注意

$F(x;k)=u\,\!$

其中$u\,$如上文所定義：由此可見，雅可比橢圓函數是橢圓積分的逆。

加法公式

$\forall \varphi _{1},\varphi _{2}\in \left]-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right[,$

$F\left(\varphi _{1},k\right)+F\left(\varphi _{2},k\right)=F\left(\arctan \left(\tan \varphi _{1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\right)+\arctan \left(\tan \varphi _{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}\right),k\right)$

$\arctan \left(\tan \varphi _{1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\right)+\arctan \left(\tan \varphi _{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}\right)\in [-\pi /2;\pi /2]\Rightarrow$

$F\left(\varphi _{1},k\right)+F\left(\varphi _{2},k\right)=F\left(\arcsin {\frac {\cos \varphi _{1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}\sin \varphi _{2}+\cos \varphi _{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\sin \varphi _{1}}{1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}}},k\right)$

$\arctan \left(\tan \varphi _{1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\right)+\arctan \left(\tan \varphi _{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}\right)\in [0;\pi ]\Rightarrow$

$F\left(\varphi _{1},k\right)+F\left(\varphi _{2},k\right)=F\left(\arccos {\frac {\cos \varphi _{1}\cos \varphi _{2}-\sin \varphi _{1}\sin \varphi _{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}}{1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}}},k\right)$

性質

$F(x+n\pi ;k)=F(x;k)+2nK(k)\,\!$

$F(x+{\frac {n\pi }{2}};k)=nK(k)\,\!$

$n\in \mathbb {Z} \,\!$

$F(-x;k)=-F(x;k)\,\!$

$F(x;0)=x\,\!$

$F(0;k)=-F(x;k)\,\!$

$F(x;1)={\rm {arctanh}}\sin x\,\!$

$-{\frac {\pi }{2}}<\Re (x)<{\frac {\pi }{2}}\,\!$

第一類不完全橢圓積分的導數

${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}F(x;k)={\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}x}}}\,\!$

${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}k}}F(x;k)={\frac {E(x;k)}{2k(1-k)}}-{\frac {F(x;k)}{2k}}-{\frac {\sin 2x}{4(1-k){\sqrt {1-k\sin ^{2}x}}}}\,\!$

第二類不完全橢圓積分

第二類不完全橢圓積分 $E\!$是

$E(\phi \setminus \alpha )=E(\phi |m)=\int _{0}^{\phi }\!E'(\theta )\ {\rm {d}}\theta =\int _{0}^{\phi }{\sqrt {1-(\sin \theta \sin \alpha )^{2}}}\ {\rm {d}}\theta .\,\!$

與此等價，採用另外一個記法（作變量替換$t=\sin \theta \,\!$），

$E(x;k)=\int _{0}^{x}{\frac {\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\ {\rm {d}}t.\,\!$

其它關係包括

$E(\phi |m)=\int _{0}^{u}{\textrm {dn}}^{2}w\;{\rm {d}}w=u-m\int _{0}^{u}{\textrm {sn}}^{2}w\;{\rm {d}}w=(1-m)u+m\int _{0}^{u}{\textrm {cn}}^{2}w\;{\rm {d}}w.\,\!$

$E(\phi |k^{2})=(1-k^{2})\int _{0}^{\phi }{\frac {{\rm {d}}\theta }{(1-k^{2}\sin ^{2}\theta ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}+{\frac {k^{2}\sin \theta \cos \theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}\,\!$

加法公式

$\forall \varphi _{1},\varphi _{2}\in \left]-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right[,$

$\textstyle E\left(\varphi _{1},k\right)+E\left(\varphi _{2},k\right)=\left[{\begin{aligned}E\left(\arctan \left(\tan \varphi _{1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\right)+\arctan \left(\tan \varphi _{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}\right),k\right)\\+{\frac {k^{2}\sin \varphi _{1}\sin \varphi _{2}\left(\cos \varphi _{1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}\sin \varphi _{2}+\cos \varphi _{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\sin \varphi _{1}\right)}{1-k^{2}\sin \varphi _{1}\sin \varphi _{2}}}\end{aligned}}\right]$

性質

$E(\phi +n\pi ;k)=E(\phi ;k)+2nE(k)\,\!$

$E(-\phi ;k)=-E(\phi ;k)\,\!$

第二類不完全橢圓積分的導數

${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}\phi }}E(\phi ;k)={\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\phi }}\,\!$

${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}k}}E(\phi ;k)={\frac {E(\phi ;k)-F(\phi ;k)}{2k}}\,\!$

${\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}k^{n}}}E(\phi ;k)={\frac {\pi }{2k^{n}}}{}_{2}F_{1}\left(-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1-n;k\right)-{\frac {{\sqrt {\pi }}\cos \phi }{2k^{2n}}}F_{2\times 1\times 0}^{1\times 3\times 2}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}};-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}},1;{\frac {1}{2}},1;\\1,{\frac {3}{2}};1-n;;\\-k^{2}\cos \phi ,\cos ^{2}\phi \end{bmatrix}}+{\frac {\pi m^{1-n}\cos \phi }{8}}F_{3\times 1\times 1}^{2\times 1\times 1}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}},2;{\frac {1}{2}},1;\\2,2-n;1-n;{\frac {3}{2}};{\frac {3}{2}};\\-k^{2}\cos ^{2}\phi ,k^{2}\end{bmatrix}}\,\!$

第三類不完全橢圓積分

第三類不完全橢圓積分$\Pi \,\!$是

$\Pi (n;\phi |m)=\int _{0}^{\phi }{\frac {{\rm {d}}\theta }{(1-n\sin ^{2}\theta ){\sqrt {1-(\sin \theta \sin o\!\varepsilon )^{2}}}}},\,\!$

或者

$\Pi (n;\phi |m)=\int _{0}^{\sin \phi }{\frac {{\rm {d}}t}{(1-nt^{2}){\sqrt {(1-k^{2}t^{2})(1-t^{2})}}}},\,\!$

或者

$\Pi (n;\phi |m)=\int _{0}^{F(\phi |m)}{\frac {{\rm {d}}w}{1-n{\textrm {sn}}^{2}(w|m)}}.\;\,\!$

數字$n\,$稱為特徵數，可以取任意值，和其它參數獨立。但是要注意$\Pi (1;{\frac {\pi }{2}}|m)\,\!$對於任意$m\,\!$是無窮的。

加法公式

$\Pi (n;\phi _{1},k)+\Pi (n;\phi _{2},k)=\Pi \left[n;\arccos {\frac {\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}-\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}{\sqrt {(1-k^{2}\sin ^{2}\phi _{1})(1-k^{2}\sin ^{2}\phi _{2})}}}{1-k^{2}\sin ^{2}\phi _{1}\sin ^{2}\phi _{2}}},k\right]-{\sqrt {\frac {n}{(1-n)(n-k^{2})}}}\arctan {\frac {{\sqrt {(1-n)n(n-k^{2})}}\sin \arccos {\frac {\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}-\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}{\sqrt {(1-k^{2}\sin ^{2}\phi _{1})(1-k^{2}\sin ^{2}\phi _{2})}}}{1-k^{2}\sin ^{2}\phi _{1}\sin ^{2}\phi _{2}}}\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}}{{\frac {n\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}-n\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}{\sqrt {(1-k^{2}\sin ^{2}\phi _{1})(1-k^{2}\sin ^{2}\phi _{2})}}}{1-k^{2}\sin ^{2}\phi _{1}\sin ^{2}\phi _{2}}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\arccos {\frac {\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}-\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}{\sqrt {(1-k^{2}\sin ^{2}\phi _{1})(1-k^{2}\sin ^{2}\phi _{2})}}}{1-k^{2}\sin ^{2}\phi _{1}\sin ^{2}\phi _{2}}}}}\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}+1-n\sin ^{2}\arccos {\frac {\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}-\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}{\sqrt {(1-k^{2}\sin ^{2}\phi _{1})(1-k^{2}\sin ^{2}\phi _{2})}}}{1-k^{2}\sin ^{2}\phi _{1}\sin ^{2}\phi _{2}}}}}$

第三類不完全橢圓積分的導數

${\frac {\partial }{\partial n}}\Pi (n;\phi ,k)={\frac {1}{2(k^{2}-n)(n-1)}}\left[E(\phi ;k)+{\frac {(k^{2}-n)F(\phi ;k)}{n}}+{\frac {(n^{2}-k^{2})\Pi (n;\phi ,k)}{n}}-{\frac {n{\sqrt {1-k^{2}\sin \phi }}\sin 2\phi }{2(1-n\sin ^{2}\phi )}}\right]$

${\frac {{\partial }^{m}}{\partial n^{m}}}\Pi (n;\phi ,k)={\frac {\sin \phi }{n^{m}}}\sum _{q=0}^{\infty }{\frac {q!(n\sin ^{2}\phi )^{q}}{(2q+1)\Gamma (q-m+1)}}F_{1}\left(q+{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};q+{\frac {3}{2}};\sin ^{2}\phi ,k^{2}\sin ^{2}\phi \right)$

${\frac {\partial }{\partial \phi }}\Pi (n;\phi ,k)={\frac {1}{(1-k^{2}\sin ^{2}\phi )}}\!$

${\frac {\partial }{\partial k}}\Pi (n;\phi ,k)={\frac {k}{n-k^{2}}}\left[{\frac {E(\phi ;k)}{k^{2}-1}}+\Pi (n;\phi ,k)-{\frac {k^{2}\sin 2\phi }{2(k^{2}-1){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\phi }}}}\right]\!$

特殊值

$\Pi (n;\phi ,1)={\frac {1}{2n-2}}\left[{\sqrt {n}}\ln {\frac {1+{\sqrt {n}}\sin \phi }{1-{\sqrt {n}}\sin \phi }}-2\ln(\sec \phi +\tan \phi )\right]\!$

$-{\frac {\pi }{2}}\leq \Re (\phi )\leq {\frac {\pi }{2}}\!$

$\Pi (0;\phi ,k)=F(\phi ,k)\!$

$\Pi (n;\phi ,0)={\frac {{\rm {arctanh}}({\sqrt {n-1}}\tan \phi )}{\sqrt {n-1}}}\!$

$-{\frac {\pi }{2}}\leq \Re (\phi )\leq {\frac {\pi }{2}}\!$

$\Pi (n;\phi ,{\sqrt {n}})={\frac {1}{1-n}}\left[E(\phi ,{\sqrt {n}})-{\frac {n\sin 2\phi }{2{\sqrt {1-n\sin ^{2}\phi }}}}\right]\!$

$\Pi \left(n;{\frac {1}{k}},k\right)={\frac {1}{k}}\Pi \left({\frac {n}{k^{2}}},{\frac {1}{k}}\right)\!$

$\Pi \left(1;\phi ,k\right)={\frac {{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\phi }}\tan \phi -E(\phi ,k)}{1-k^{2}}}+F(\phi ,k)\!$

第一類完全橢圓積分

第一類完全橢圓積分$K(k)$

如果幅度為${\frac {\pi }{2}}\,$或者$x=1\,$，則稱橢圓積分為完全的。 第一類完全橢圓積分$K\,$可以定義為

$K(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {{\rm {d}}\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}$

或者

$K(k)=\int _{0}^{1}{\frac {{\rm {d}}t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}.\!$

它是第一類不完全橢圓積分的特例：

$K(k)=F(1;\,k)=F\left({\frac {\pi }{2}}\,|\,k^{2}\right)\!$

這個特例可以表達為冪級數

$K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {(2n)!}{2^{2n}n!^{2}}}\right]^{2}k^{2n}\!$

它等價於

$K(k)={\frac {\pi }{2}}\left\{1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}k^{2}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}k^{4}+\cdots +\left[{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right]^{2}k^{2n}+\cdots \right\}.\!$

其中$n!!\,$表示雙階乘。利用高斯的超幾何函數，第一類完全橢圓積分可以表達為

$K(k)={\frac {\pi }{2}}\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1;k^{2}\right).\,\!$

第一類完全橢圓積分有時稱為四分周期。它可以利用算術幾何平均值來快速計算。

$K(k)={\frac {\frac {\pi }{2}}{\mathrm {agm} (1,{\sqrt {1-k^{2}}})}}.$

複數值

$\Re \left[K(x+y{\rm {i}})\right]={\frac {\pi }{2}}F_{2\times 1\times 1}^{4\times 0\times 0}{\begin{bmatrix}{\frac {3}{4}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}},{\frac {5}{4}},;;;\\1,{\frac {3}{2}};{\frac {1}{2}};{\frac {3}{2}};\\-y^{2},x^{2}\end{bmatrix}}+{\frac {\pi }{8}}xF_{2\times 1\times 1}^{4\times 0\times 0}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}},{\frac {3}{4}},{\frac {3}{4}},;;;\\1,{\frac {1}{2}};{\frac {1}{2}};{\frac {1}{2}};\\-y^{2},x^{2}\end{bmatrix}}\,\!$

$\Im \left[K(x+y{\rm {i}})\right]={\frac {\pi }{8}}yF_{2\times 1\times 1}^{4\times 0\times 0}{\begin{bmatrix}{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}},;;;\\1,{\frac {3}{2}};{\frac {3}{2}};{\frac {1}{2}};\\-y^{2},x^{2}\end{bmatrix}}+{\frac {9}{64}}\pi xyF_{2\times 1\times 1}^{4\times 0\times 0}{\begin{bmatrix}{\frac {5}{4}},{\frac {7}{4}},{\frac {7}{4}},{\frac {5}{4}},;;;\\2,{\frac {3}{2}};{\frac {3}{2}};{\frac {3}{2}};\\-y^{2},x^{2}\end{bmatrix}}\,\!$

特殊值

$K(\pm \infty )=0\,$

$K(\pm {\rm {i}}\infty )=0\,$

$K(0)={\frac {\pi }{2}}\!$

$K(1)=\infty \!$

$K({\frac {\sqrt {2}}{2}})={\frac {8\pi }{\Gamma ^{2}\left(-{\frac {1}{4}}\right)}}{\sqrt {\pi }}\,$

$K\left({\sqrt {17-12{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {(4+2{\sqrt {2}})\pi }{\Gamma ^{2}\left(-{\frac {1}{4}}\right)}}{\sqrt {\pi }}\,$

$K\left({\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}\right)={\frac {{\sqrt[{3}]{4}}\cdot {\sqrt[{4}]{3}}}{8\pi }}\Gamma ^{3}\left({\frac {1}{3}}\right)\,$

$K\left({\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}\right)={\frac {{\sqrt[{3}]{4}}\cdot {\sqrt[{4}]{27}}}{8\pi }}\Gamma ^{3}\left({\frac {1}{3}}\right)\,$

$K(i)={\frac {\sqrt {2\pi }}{8\pi }}\Gamma ^{2}\left({\frac {1}{4}}\right)\,$

$K({\sqrt {2}})={\frac {4{\sqrt {2\pi }}\pi }{\Gamma ^{2}\left({\frac {1}{4}}\right)}}+{\frac {4{\sqrt {2\pi }}\pi }{\Gamma ^{2}\left({\frac {1}{4}}\right)}}{\rm {i}}\,$

$K({\rm {i}}k)={\frac {1}{\sqrt {k^{2}+1}}}K\left({\sqrt {\frac {k^{2}}{k^{2}+1}}}\right)\,$

其中

$\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)\approx 3.62561\,$

$\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)\approx 2.67893\,$

第一類完全橢圓積分滿足

$E(k)K'(k)+E'(k)K(k)-K(k)K'(k)={\frac {\pi }{2}}\,$

導數

${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}k}}K^{n}(k)={\frac {nK^{n-1}(k)E(k)}{2k(1-k)}}-{\frac {nK^{n}(k)}{2k}}$

漸近表示

$K(k^{2})\approx {\frac {\pi }{2}}+{\frac {\pi }{8}}{\frac {k^{2}}{1-k^{2}}}-{\frac {\pi }{16}}{\frac {k^{4}}{1-k^{2}}}$

這個近似在k<1/2時相對誤差小於3×10⁻⁴，若只保留前兩項則誤差在k<1/2時小於0.01

微分方程

此函數滿足以下微分方程

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}\left[k(1-k^{2}){\frac {\mathrm {d} K(k)}{\mathrm {d} k}}\right]=kK(k)$

此微分方程之另一解為$K({\sqrt {1-k^{2}}})$，此解滿足以下關係。

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}K({\sqrt {1-k^{2}}})={\frac {E(k)}{k(1-k^{2})}}-{\frac {K(k)}{k}}$.

第二類完全橢圓積分

第二類完全橢圓積分$E(k)$

第二類完全橢圓積分 $E\,$可以定義為

$E(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\ {\rm {d}}\theta \!$

或者

$E(k)=\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\ {\rm {d}}t.\!$

它是第二類不完全橢圓積分的特殊情況：

$E(k)=E(1;\,k)=E({\frac {\pi }{2}}\,|\,k^{2})\!$

它可以用冪級數表達

$E(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {(2n)!}{2^{2n}n!^{2}}}\right]^{2}{\frac {k^{2n}}{1-2n}}\!$

也就是

$E(k)={\frac {\pi }{2}}\left\{1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}{\frac {k^{2}}{1}}-\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}{\frac {k^{4}}{3}}-\cdots -\left[{\frac {\left(2n-1\right)!!}{\left(2n\right)!!}}\right]^{2}{\frac {k^{2n}}{2n-1}}-\cdots \right\}.\!$

用高斯超幾何函數表示的話，第二類完全橢圓積分可以寫作

$E(k)={\frac {\pi }{2}}\,_{2}F_{1}\left(-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1;k^{2}\right).\,\!$

有如下性質

$E({\frac {n\pi }{2}};k)=nE(k)\,\!$

$n\in \mathbb {Z} \,\!$

複數值

$E(x+y{\rm {i}})=\left\{{\frac {\pi }{2}}F_{2\times 1\times 1}^{4\times 0\times 0}{\begin{bmatrix}{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}},{\frac {1}{4}},{\frac {3}{4}},;-;-;\\1,{\frac {3}{2}};{\frac {1}{2}};{\frac {3}{2}};\\-y^{2},x^{2}\end{bmatrix}}-{\frac {\pi }{8}}xF_{2\times 1\times 1}^{4\times 0\times 0}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{4}},{\frac {3}{4}},-{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}},;-;-;\\1,{\frac {1}{2}};{\frac {1}{2}};{\frac {1}{2}};\\-y^{2},x^{2}\end{bmatrix}}\right\}+{\rm {i}}\left\{-{\frac {\pi }{8}}yF_{2\times 1\times 1}^{4\times 0\times 0}{\begin{bmatrix}{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}},{\frac {1}{4}},{\frac {3}{4}},;-;-;\\1,{\frac {3}{2}};{\frac {1}{2}};{\frac {3}{2}};\\-y^{2},x^{2}\end{bmatrix}}-{\frac {3}{64}}\pi xyF_{2\times 1\times 1}^{4\times 0\times 0}{\begin{bmatrix}{\frac {5}{4}},{\frac {7}{4}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}},;-;-;\\2,{\frac {3}{2}};{\frac {3}{2}};{\frac {3}{2}};\\-y^{2},x^{2}\end{bmatrix}}\right\}\,\!$

特殊值

$E(0)={\frac {\pi }{2}}\!$

$E(1)=1\!$

$E(\infty )={\rm {i}}\infty \,$

$E(-\infty )=\infty \,$

$E({\rm {i}}\infty )=({\frac {\sqrt {2}}{2}}-{\frac {\sqrt {2}}{2}}{\rm {i}})\infty \,$

$E({\rm {i}})={\frac {\sqrt {2\pi }}{2\pi }}\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)+{\frac {{\sqrt {2\pi }}{\pi }^{2}}{4\pi \Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}={\frac {\pi {\sqrt {2\pi }}}{\Gamma ^{2}\left({\frac {1}{4}}\right)}}+{\frac {\sqrt {2\pi }}{8\pi }}\Gamma ^{2}\left({\frac {1}{4}}\right)\,$

$E(-{\rm {i}}\infty )=({\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}{\rm {i}})\infty \,$

$E\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)=\pi ^{\frac {3}{2}}\Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)^{-2}+{\tfrac {1}{8{\sqrt {\pi }}}}\Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)^{2}$

$E\left({\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}\right)={\frac {{\sqrt[{3}]{2}}\cdot \ {\sqrt[{4}]{3}}}{3\Gamma ^{3}\left({\frac {1}{3}}\right)}}{\pi }^{2}+{\frac {{\sqrt[{3}]{4}}\left(3{\sqrt[{4}]{3}}+{\sqrt[{4}]{27}}\right)}{48{\pi }}}\Gamma ^{3}\left({\frac {1}{3}}\right)\!$

$E\left({\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}\right)={\frac {{\sqrt[{3}]{2}}\cdot \ {\sqrt[{4}]{27}}}{3\Gamma ^{3}\left({\frac {1}{3}}\right)}}{\pi }^{2}+{\frac {{\sqrt[{3}]{4}}\left({\sqrt[{4}]{27}}-{\sqrt[{4}]{3}}\right)}{16{\pi }}}\Gamma ^{3}\left({\frac {1}{3}}\right)\!$

$E({\sqrt {2}}-1)={\frac {\sqrt {\pi }}{8}}\left[{\frac {\Gamma ({\frac {1}{8}})}{\Gamma ({\frac {5}{8}})}}+{\frac {\Gamma ({\frac {5}{8}})}{\Gamma ({\frac {9}{8}})}}\right]\!$

$E({\sqrt {2}})={\sqrt {\frac {1}{2\pi }}}\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)+{\sqrt {\frac {1}{2\pi }}}\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right){\rm {i}}$

其中

$\Gamma \left({\frac {1}{8}}\right)\approx 7.53394\,$

$\Gamma \left({\frac {5}{8}}\right)\approx 1.43452\,$

$\Gamma \left({\frac {9}{8}}\right)\approx 0.94174\,$

$\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)\approx 1.22541\,$

導數、積分及微分方程

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}E(k)={\frac {E(k)-K(k)}{k}}$

$\int E(k){\rm {d}}k={\frac {2}{3}}\left[kK(k)-K(k)+kE(k)+E(k)\right]$

$(k^{2}-1){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}\left[k\;{\frac {\mathrm {d} E(k)}{\mathrm {d} k}}\right]=kE(k)$

此微分方程之另解為$E({\sqrt {1-k^{2}}})-K({\sqrt {1-k^{2}}})$。

第三類完全橢圓積分

不同$n$值的第三類完全橢圓積分$\Pi (n,k)$

第三類完全橢圓積分$\Pi \,$可以定義為

$\Pi (n,k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\ {\rm {d}}\theta }{(1-n\sin ^{2}\theta ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}$

注意有時第三類橢圓積分被定義為帶相反符號的$n\,$，也即

$\Pi '(n,k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\ {\rm {d}}\theta }{(1+n\sin ^{2}\theta ){\sqrt {1-k'^{2}\sin ^{2}\theta }}}}.$

用阿佩爾函數可表示為

$\Pi (m,n)={\frac {\pi }{2}}F_{1}\left({\frac {1}{2}};1,{\frac {1}{2}};1;m,n\right)\,$

第三類完全橢圓積分和第一類橢圓積分之間的關係

$\Pi \left[{\frac {(1+x)(1-3x)}{(1-x)(1+3x)}},{\frac {(1+x)^{3}(1-3x)}{(1-x)^{3}(1+3x)}}\right]-{\frac {1+3x}{6x}}K\left[{\frac {(1+x)^{3}(1-3x)}{(1-x)^{3}(1+3x)}}\right]=\,$

${\begin{cases}0&{\mbox{for }}0<x<1\!\,\\-{\frac {\pi (x-1){\sqrt {(x-1)(1+3x)}}}{12x}}&{\mbox{for }}x<0,x>1\!\,\\\end{cases}}$

如

$K\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{4\pi }}\Gamma ^{2}\left({\frac {1}{4}}\right)={\frac {3-{\sqrt {6{\sqrt {3}}-9}}}{2}}\Pi \left({\frac {1-{\sqrt {2{\sqrt {3}}-3}}}{2}},{\frac {1}{2}}\right)\,$

$={\frac {3+{\sqrt {6{\sqrt {3}}-9}}}{2}}\Pi \left({\frac {1+{\sqrt {2{\sqrt {3}}-3}}}{2}},{\frac {1}{2}}\right)-\pi {\sqrt {2+{\sqrt {3}}+{\sqrt {7+{\frac {38}{9}}{\sqrt {3}}}}}}\,$

偏導數

${\frac {\partial }{\partial n}}\Pi (n,k)={\frac {1}{2(k^{2}-n)(n-1)}}\left[E(k)+{\frac {(k^{2}-n)K(k)}{n}}+{\frac {(n^{2}-k^{2})\Pi (n,k)}{n}}\right]$

${\frac {\partial }{\partial k}}\Pi (n,k)={\frac {k}{n-k^{2}}}\left[{\frac {E(k)}{k^{2}-1}}+\Pi (n,k)\right]$

特殊值

$\Pi (0,0)={\frac {\pi }{2}}\,$

$\Pi (n,0)={\frac {\pi }{2{\sqrt {1-n}}}}\,$

$\Pi (n,1)=-{\frac {\infty }{\operatorname {sgn} {n-1}}}\,$

$\Pi (n,{\sqrt {n}})={\frac {E(n)}{1-n}}\,$

$\Pi (0,{\sqrt {n}})=K(n)\,$

$\Pi (\pm \infty ,{\sqrt {n}})=0\,$

$\Pi (n,\pm \infty )=0\,$

函數關係

勒讓得關係指出了第一類和第二類完全橢圓積分之間的聯繫:

$K(k)E\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)+E(k)K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)-K(k)K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}.$

參看

• 橢圓曲線
• 施瓦茨-克里斯托費爾映射
• 雅可比橢圓函數
• 魏爾斯特拉斯橢圓函數
• Θ函數
• 算術-幾何平均數

參考

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. (See chapter 17).
• Harris Hancock Lectures on the theory of Elliptic functions (New York, J. Wiley & sons, 1910)
• Alfred George Greenhill The applications of elliptic functions (New York, Macmillan, 1892)
• Louis V. King On The Direct Numerical Calculation Of Elliptic Functions And Integrals (Cambridge University Press, 1924)