在積分學中,橢圓積分最初出現於橢圓的弧長有關的問題中。朱利奧·法尼亞諾和歐拉是最早的研究者。現代數學將橢圓積分定義為可以表達為如下形式的任何函數
的積分
![{\displaystyle f(x)=\int _{c}^{x}R[t,{\sqrt[{}]{P(t)}}]\ dt\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f64997726d1cd7063eddda9718a71431e3a23789)
其中
是其兩個參數的有理函數,
是一個無重根的
或
階多項式,而
是一個常數。
通常,橢圓積分不能用基本函數表達。這個一般規則的例外出現在
有重根的時候,或者是
,
沒有
的奇數冪時。但是,通過適當的簡化公式,每個橢圓積分可以變為只涉及有理函數和三個經典形式的積分。(也即,第一,第二,和第三類的橢圓積分)。
除下面給出的形式之外,橢圓積分也可以表達為勒讓德形式和Carlson對稱形式。通過對施瓦茨-克里斯托費爾映射的研究可以加深對橢圓積分理論的理解。歷史上,橢圓函數是作為橢圓積分的逆函數被發現的,特別是這一個:
其中
是雅可比正弦橢圓函數。
橢圓積分通常表述為不同變量的函數。這些變量完全等價(它們給出同樣的橢圓積分),但是它們看起來很不相同。很多文獻使用單一一種標準命名規則。在定義積分之前,先來檢視一下這些變量的命名常規:
- 模角;
- 橢圓模;
- 參數;
上述三種常規完全互相確定。規定其中一個和規定另外一個一樣。橢圓積分也依賴於另一個變量,可以有如下幾種不同的設定方法:
- 幅度
- 其中
- ,其中 而 是雅可比橢圓函數之一
規定其中一個決定另外兩個。這樣,它們可以互換地使用。注意 也依賴於 。其它包含 的關係有
-
和
-
後者有時稱為δ幅度並寫作 。有時文獻也稱之為補參數,補模或者補模角。這些在四分周期中有進一步的定義。
第一類不完全橢圓積分 定義為
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與此等價,用雅可比的形式,可以設
;則
-
其中,假定任何有豎直條出現的地方,緊跟豎直條的變量是(如上定義的)參數;而且,當反斜槓出現的時候,跟着出現的是模角。
在這個意義下, ,這裏的記法來自標準參考書Abramowitz and Stegun。
但是,還有許多不同的用於橢圓積分的記法。取值為橢圓積分的函數沒有(像平方根,正弦和誤差函數那樣的)標準和唯一的名字。甚至關於該領域的文獻也常常採用不同的記法。Gradstein, Ryzhik[1] (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館), .(8.111)]採用 。該記法和這裏的 ;以及下面的 等價。
和上面的不同對應的是,如果從Mathematica語言翻譯代碼到Maple語言,必須將EllipticK函數的參數用它的平方根代替。反過來,如果從Maple翻到Mathematica,則參數應該用它的平方代替。Maple中的EllipticK( )幾乎和Mathematica中的EllipticK[ ]相等;至少當 時是相等的。
注意
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其中 如上文所定義:由此可見,雅可比橢圓函數是橢圓積分的逆。
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第二類不完全橢圓積分 是
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與此等價,採用另外一個記法(作變量替換 ),
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其它關係包括
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第三類不完全橢圓積分 是
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或者
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或者
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數字 稱為特徵數,可以取任意值,和其它參數獨立。但是要注意 對於任意 是無窮的。
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第一類完全橢圓積分
如果幅度為 或者 ,則稱橢圓積分為完全的。
第一類完全橢圓積分 可以定義為
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或者
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它是第一類不完全橢圓積分的特例:
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這個特例可以表達為冪級數
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它等價於
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其中 表示雙階乘。利用高斯的超幾何函數,第一類完全橢圓積分可以表達為
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第一類完全橢圓積分有時稱為四分周期。它可以利用算術幾何平均值來快速計算。
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其中
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第一類完全橢圓積分滿足
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這個近似在k<1/2時相對誤差小於3×10−4,若只保留前兩項則誤差在k<1/2時小於0.01
此函數滿足以下微分方程
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此微分方程之另一解為 ,此解滿足以下關係。
- .
第二類完全橢圓積分
第二類完全橢圓積分 可以定義為
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或者
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它是第二類不完全橢圓積分的特殊情況:
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它可以用冪級數表達
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也就是
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用高斯超幾何函數表示的話,第二類完全橢圓積分可以寫作
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有如下性質
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其中
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此微分方程之另解為 。
不同 值的第三類完全橢圓積分
第三類完全橢圓積分 可以定義為
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注意有時第三類橢圓積分被定義為帶相反符號的 ,也即
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用阿佩爾函數可表示為
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第三類完全橢圓積分和第一類橢圓積分之間的關係
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如
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勒讓得關係指出了第一類和第二類完全橢圓積分之間的聯繫:
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