泛函分析中,沙滕範數(Schatten norm,或沙滕–馮·諾依曼範數,Schatten–von-Neumann norm)來自p-可積的推廣,與跡類範數、希爾伯特-施密特範數相似。
下面將p的範圍推廣到 , 表示算子範數。指標 的對偶是 。
- 沙滕範數是酉不變的:對酉算子U、V、 ,
-
- 它們滿足赫爾德不等式: 使得 ,以及定義在希爾伯特空間之間的算子 ,
-
若 滿足 ,則
- .
赫爾德不等式的這後一個形式有更一般情形的證明(對非交換 空間,而非沙滕-p類。[1]對於矩陣,見[2])。
- 子乘性: 、定義在希爾伯特空間 之間的算子 ,
-
- 單調性:對於 ,
-
- 對偶性:令 為有限維希爾伯特空間, ,q滿足 ,則
-
- 其中 表示希爾伯特-施密特算子。
- 令 為希爾伯特空間 的兩個正交基,則對
-
注意 是希爾伯特-施密特範數(見希爾伯特-施密特算子), 是跡類範數(見跡類算子), 是算子範數(見算子範數)。
對 ,函數 是擬賦范空間的例子。
具有有限沙滕範數的算子稱作沙滕類算子,其空間記作 。此範數下 是巴拿赫空間,對 是希爾伯特空間。
注意 ,後者即緊算子代數。這是因為,若和有限,則譜也有限或至多是可數無窮多,且以原點為極限點,因此是緊算子。
情形常稱作核範數(或跡範數、樊𰋀n-範數[3])。
- Rajendra Bhatia, Matrix analysis, Vol. 169. Springer Science & Business Media, 1997.
- John Watrous, Theory of Quantum Information, 2.3 Norms of operators, lecture notes, University of Waterloo, 2011.
- Joachim Weidmann, Linear operators in Hilbert spaces, Vol. 20. Springer, New York, 1980.