泛函分析中,沙滕范数(Schatten norm,或沙滕–冯·诺依曼范数,Schatten–von-Neumann norm)来自p-可积的推广,与迹类范数希尔伯特-施密特范数相似。

定义

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 是希尔伯特空间, 是(线性)有界算子。对 ,定义T的沙滕p-范数为

 

其中 ,平方根是算子平方根。

T是紧的、 可分离,则

 

T奇异值(即厄米算子 的特征值)满足 

性质

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下面将p的范围推广到  表示算子范数。指标 的对偶是 

  • 沙滕范数是酉不变的:对酉算子UV 
 
  • 它们满足赫尔德不等式 使得 ,以及定义在希尔伯特空间之间的算子 
 

 满足 ,则

 .

赫尔德不等式的这后一个形式有更一般情形的证明(对非交换 空间,而非沙滕-p类。[1]对于矩阵,见[2])。

  • 子乘性: 、定义在希尔伯特空间 之间的算子 
 
  • 单调性:对于 
 
  • 对偶性:令 为有限维希尔伯特空间, q满足 ,则
 
其中 表示希尔伯特-施密特算子
  •  为希尔伯特空间 的两个正交基,则对 
 

备注

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注意 是希尔伯特-施密特范数(见希尔伯特-施密特算子), 是迹类范数(见迹类算子), 是算子范数(见算子范数)。 对 ,函数 拟赋范空间的例子。

具有有限沙滕范数的算子称作沙滕类算子,其空间记作 。此范数下 是巴拿赫空间,对 是希尔伯特空间。

注意 ,后者即紧算子代数。这是因为,若和有限,则谱也有限或至多是可数无穷多,且以原点为极限点,因此是紧算子。

 情形常称作核范数(或迹范数、樊𰋀n-范数[3])。

另见

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矩阵范数#Schatten范数

参考文献

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  1. ^ Fack, Thierry; Kosaki, Hideki. Generalized  -numbers of  -measurable operators. (PDF). Pacific Journal of Mathematics. 1986, 123 (2) [2024-05-23]. (原始内容存档 (PDF)于2023-12-05). 
  2. ^ Ball, Keith; Carlen, Eric A.; Lieb, Elliott H. Sharp uniform convexity and smoothness inequalities for trace norms. Inventiones Mathematicae. 1994, 115: 463–482. S2CID 189831705. doi:10.1007/BF01231769. 
  3. ^ Fan, Ky. Maximum properties and inequalities for the eigenvalues of completely continuous operators. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 1951, 37 (11): 760–766. Bibcode:1951PNAS...37..760F. PMC 1063464 . PMID 16578416. doi:10.1073/pnas.37.11.760 . 
  • Rajendra Bhatia, Matrix analysis, Vol. 169. Springer Science & Business Media, 1997.
  • John Watrous, Theory of Quantum Information, 2.3 Norms of operators, lecture notes, University of Waterloo, 2011.
  • Joachim Weidmann, Linear operators in Hilbert spaces, Vol. 20. Springer, New York, 1980.