理想類群

理想類群（英語：Ideal class group）是代數數論的基本對象之一，簡稱類群。

一個代數數域K的理想類群是形如 J_K /P_K 的商群; 此處J_K 是代數數域K的整數環的所有分式理想構成的群; 而P_K是這個群的子群，包含所有可以被一個元素生成的分式理想(類似主理想的定義)。
理想類群在一定程度上可以測量K的整數環中算術基本定理(唯一分解)被破壞程度: 只有當理想類群的秩為1時，代數數域K的整數環才是唯一分解整環。理想類群的秩又被稱作為代數數域的「類數」。

形式定義

設 ${\mathcal {O}}$ 為戴德金整環。此時 ${\mathcal {O}}$ 中的非零理想對乘法構成一個交換么半群。

今將定義其上的等價關係：設 ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}$ 為二非零理想，定義

${\mathfrak {a}}\sim {\mathfrak {b}}\Leftrightarrow \exists s,t\in {\mathcal {O}}^{\times }\;(s){\mathfrak {a}}=(t){\mathfrak {b}}$

理想么半群對此關係的商構成一個交換群 $\mathrm {Cl} ({\mathcal {O}})$，稱為 ${\mathcal {O}}$ 的理想類群。

另一套進路是考慮 ${\mathfrak {O}}$ 的非零分式理想構成之交換群，再考慮它對主分式理想 $\{(q):q\in K^{\times }\}$ 之商，由此得到的對象自然同構於理想類群。

性質

• 理想類群為平凡群的充要條件是該戴德金整環為主理想環。
• 設 $K$ 為數域，${\mathcal {O}}_{K}$ 為其中的代數整數環，因而是戴德金整環。此時可證明 ${\mathcal {O}}_{K}$ 是有限群。其元素個數記為 $h_{K}$，稱作類數。

例子

考慮二次域 $\mathbb {Q} ({\sqrt {-5}})$。考慮理想

$J=(2,1+{\sqrt {-5}})$。

易證此非主理想，因此理想類群非零。事實上，其理想類群是二階循環群。