集合 (數學)

具有某种特定性质的事物的总体

集合(英語:set)簡稱,是一個基本的數學模型,指若干不同物件(英語:object)形成的總體。集合裏的物件稱作元素或成員,它們可以是任何類型的數學物件:數字、符號、變量、空間中的點、線、面,甚至是其他集合。若是集合的元素,記作。不包含任何元素的集合稱為空集;只包含一個元素的集合稱為單元素集合。集合可以包含有限或無限個元素。如果兩個集合所包含的元素完全相同,我們稱這兩個集合相等。

一個包含一些多邊形的集合

集合在現代數學無處不在,其基本理論是於十九世紀末創立的。自20世紀上半葉以來,集合理論,更確切地說是策梅洛-弗蘭克爾集合論,一直是為所有數學分支奠定嚴格實際基礎的標準。

導言

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定義

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簡單來說,所謂的一個集合,就是將數個物件歸類而分成為一個或數個形態各異的大小整體。一般來講,集合是具有某種特性的事物的整體,或是一些確認物件的匯集。構成集合的事物或物件稱作「元素」或「成員」。集合的元素可以是任何事物,可以是人,可以是物,也可以是字母或數字等。

在數學交流當中為了方便,集合會有一些別名。比如:

  • 族、系:通常指它的元素也是一些集合。

符號

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元素通常用 等小寫字母來表示;而集合通常用 等大寫字母來表示。

當元素 屬於集合 時,記作 

當元素 不屬於集合 時,記作 

如果 兩個集合所包含的元素完全一樣,則二者相等,寫作 

特性

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無序性:一個集合中,每個元素的地位都是相同的,元素之間是無序的。

  • 集合上可以定義序關係,定義了序關係後,元素之間就可以按照序關係排序。但就集合本身的特性而言,元素之間沒有必然的序。(參見序理論

互異性:一個集合中,任何兩個元素都認為是不相同的,即每個元素只能出現一次。

  • 有時需要對同一元素出現多次的情形進行刻畫,可以使用多重集,其中的元素允許出現多次。

確定性:給定一個集合,任給一個元素,該元素或者屬於或者不屬於該集合,二者必居其一,不允許有模稜兩可的情況出現。

表示

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  • 集合可以用文字或數學符號描述,稱為描述法,比如:
 大於零的前三個自然數
 光的三原色和白色
  • 集合的另一種表示方法是在大括號中列出其元素,稱為列舉法,比如:
 
 紅色 藍色 綠色 白色 

儘管兩個集合有不同的表示,它們仍可能是相同的。比如:上述集合中,  ,因為它們正好有相同的元素。

元素列出的順序不同,或者元素列表中有重複,都和集合相同與否沒有關係。比如:這三個集合   是相同的,因為它們有相同的元素。

  • 集合在不嚴格的意義下也可以通過草圖來表示,更多資訊,請見文氏圖

集合間的關係

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子集與包含關係

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B的子集A

定義

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集合  ,若 ,有 。則稱  子集,亦稱 包含於 ,或 包含 ,記作  ,否則稱 不是 的子集,記作  

 ,且 ,則稱  真子集,亦稱 真包含於 ,或 真包含 ,記作  (有時也記作  )。

基本性質

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  • 包含關係「 」是集合間的一個非嚴格偏序關係,因為它有如下性質:
    • 自反性 集合  ;(任何集合都是其本身的子集)
    • 反對稱性  ;(這是證明兩集合相等的常用手段之一)
    • 遞移性  
  • 真包含關係「 」是集合間的一個嚴格偏序關係,因為它有如下性質:
    • 反自反性 集合  都不成立;
    • 非對稱性 不成立;反之亦然;
    • 遞移性  
  • 顯然,包含關係,真包含關係定義了集合間的偏序關係。而 是這個偏序關係的最小元素,即: 集合  ;且若 ,則 ,(空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集)

舉例

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  • 所有男人的集合是所有人的集合的真子集
  • 所有自然數的集合是所有整數的集合的真子集
  •  
  •  

運算

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兩個集合可以相"加"。  併集是將  的元素放到一起構成的新集合。

定義

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給定集合  ,定義運算 如下:   稱為  併集

 
A 和 B 的併集

示例

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  •  紅色 白色 紅色 白色 
  •  綠色 紅色 白色 綠色 紅色 白色 綠色 
  •  

基本性質

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作為集合間的二元運算, 運算具有以下性質。

  • 交換律 
  • 結合律 
  • 冪等律 
  • 單位元 集合  ;(  運算的單位元)。

一個新的集合也可以通過兩個集合有的元素來構造。  交集,寫作 ,是既屬於 的、又屬於 的所有元素組成的集合。

 ,則  稱作不相交

 
A 和 B 的交集

定義

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給定集合  ,定義運算 如下:   稱為  交集

基本性質

編輯

作為集合間的二元運算, 運算具有以下性質。

  • 交換律 
  • 結合律 
  • 冪等律 
  • 空集合 集合  ;(  運算的空集合)。

其它性質還有:

  •  

示例

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  •  紅色 白色 
  •  綠色 紅色 白色 綠色 綠色 
  •  

補集

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兩個集合也可以相"減"。  中的相對補集,國際上通常寫作  ,中文教材中有時也會寫作 。表示屬於 的、但不屬於 的所有元素組成的集合。

在特定情況下,所討論的所有集合是一個給定的全集 的子集。這樣,  稱作 絕對補集,或簡稱補集(餘集),寫作  

 
相對補集 A - B

補集可以看作兩個集合相減,有時也稱作差集

定義

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給定集合  ,定義運算-如下:   稱為 對於 差集相對補集相對餘集

在上下文確定了全集 時,對於 的某個子集 ,一般稱  (對於 )的補集余集,通常記為  ,也有記為 ,  ,  ,以及 的。

基本性質

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作為集合間的二元運算,- 運算有如下基本性質:

  •  
  • 單位元 集合  ;(  運算的右單位元)。
  • 零元素英語Zero element 集合  ;(  運算的左零元素)。

示例

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  •  紅色 白色 
  •  綠色 紅色 白色 綠色 
  •  
  •  是整數集,則奇數的補集是偶數

對稱差

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定義

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給定集合  ,定義對稱差運算 如下: 

基本性質

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作為集合間的二元運算, 運算具有如下基本性質:

  • 交換律 
  • 結合律 
  • 單位元 集合  ;(  運算的單位元)。
  • 反元素 

運算性質

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集合的運算除了以上情況之外,集合間還具有以下運算性質:

 
 
 
 

集合的元素個數

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上述每一個集合都有確定的元素個數;比如:集合 A 有三個元素、而集合 B 有四個。一個集合中元素的數目稱為該集合的基數數學寫法有很多種,不同作者及不同書本用不同的寫法:  

集合可以沒有元素。這樣的集合叫做空集,用   或符號 表示。比如:集合 是2004年所有住在月球上的人,它沒有元素,則 。在數學上,空集非常重要。更多資訊請參閱空集

如果集合只含有限個元素,那麼這個集合可以稱為有限集合

集合也可以有無窮多個元素,這樣的集合稱為無限集合。比如:自然數集便是無限集合。關於無窮大和集合的大小的其他資訊請見集合的

公理化集合論

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若把集合看作「符合任意特定性質的一堆東西」,會得出所謂羅素悖論。為解決羅素悖論,數學家提出公理化集合論。在公理集合論中,集合是一個不加定義的概念。

在更深層的公理化數學中,集合僅僅是一種特殊的,是「良性類」,是能夠成為其它類的元素的類。

類區分為兩種:一種是可以順利進行類運算的「良性類」,這種「良性類」稱為集合;另一種是要限制運算的「本性類」,對於本性類,類運算並不是都能進行的。

定義 類A如果滿足條件「 」,則稱類A為一個集合(簡稱為),記為 。否則稱為本性類

這說明,一個集合可以作為其它類的元素,但一個本性類卻不能成為其它類的元素。因此可以理解為「本性類是最高層次的類」。

參見

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參考文獻

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